上海市南汇中学2022届高三下学期期中数学试题 含解析

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上海市南汇中学 2021-2022 学年高三下期中数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）
1. 设 是虚数单位， 是实数，若 是实数，则 __．
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的标准式，结合复数的乘法，建立方程，可得答案.
【详解】因为 是实数，所以 ，所以 ．
故答案为： .
2. 若 ，则 =_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵ ，∴ ，∴ ，故答案为 .
考点：诱导公式；二倍角的余弦.
3. 函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由对数函数的定义知，其真数大于 0，解得 ﹣1＞0 即可.
【详解】∵ ﹣1＞0，∴0＜x＜1，∴函数 y＝lg（ ﹣1）的定义域：{x|0＜x＜1}．
故答案为（0，1）．
【点睛】本题考查了对数函数的定义域，属于基础题．
4. 幂函数 的图象过点 ，则 的值__．
【答案】16
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，利用待定系数法，求得函数解析式，柑橘反函数的定义，代指可得答案.
【详解】设 ，由题意得 ，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ．
故答案为： .
5. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为__．
【答案】4
【解析】
【分析】根据可行域结合几何意义求最值.
【详解】作出可行域如下，
由 可得 ，
当直线 过点 时， 最小，则 最大，
此时 .
故答案为:4.
6. 已知某圆锥体的底面半径 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为 的扇形，则该圆锥体
的体积是______
【答案】
【解析】
【分析】先求圆锥的底面圆的周长，就是展开图的扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再求其高，可求体积．
【详解】由题意扇形的弧长为：6π，圆锥的底面周长为：6π，所以圆锥母线长为 9，
又底面半径为：3，圆锥的高为 ，
所求体积 Vπ×（3）2×6 18 ．
故答案为 18 ．
【点睛】本题考查圆锥的体积，考查学生空间想象能力，计算能力，是基础题．
7. 若 展开式的第 3项为 288，则 ________
【答案】2
【解析】
【分析】先由展开式的第 3项为 ，求出 x．再由无穷递减等比数列的极限公式求出
的值．
【详解】 36 ，解得 x，
∴ =
故答案为：2.
8. 一副扑克牌(有四色，同一色有 13 张不同牌)共52 张．现随机抽取 3张牌，则抽出的 3张牌花色各不相同
的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 52 张牌中抽取 3张，共有 种结果，
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