上海市敬业中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学试题 含解析

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上海市敬业中学 2021-2022 学年高三下开学考
数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）
1. 已知球的主视图所表示图像的面积为 ，则该球的体积是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据球的视图特征，结合圆的面积公式、球的体积公式进行求解即可.
【详解】设球的半径为 ，则 ，所以 ，所以该球的体积是 ．
故答案为：
2. 直线 （ 为参数）与曲线 （ 为参数）的交点个数是_______．
【答案】
【解析】
【详解】直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程： ，再消去 y，得，
，所以两个交点．答案：2
3. 设直线 经过曲线 （ 为参数， ）的中心，且其方向向量 ，则
直线 的方程为____
【答案】
【解析】
【分析】先由曲线的参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从
而可得出直线方程.
【详解】由 消去参数可得 ，
所以曲线 表示以 为圆心，以 为半径的圆；
因此直线 过点 ，
又直线 的方向向量为 ，所以斜率为 ，
因此，所求直线方程为： ，即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.
4. 甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为 ，甲不输的概率为 ，则甲乙和棋的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解
【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为 ，甲不输的概率为
甲乙和棋的概率为：
故答案为 0.3
【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立
5. 设 、 均为非负实数，且满足 ，则 的最大值为________
【答案】40
【解析】
【分析】先由约束条件，作出可行域，再令 ，由 得到 ，因此，当直
线 在 轴截距最大时， 取最大值，结合图像，即可求出结果.
【详解】由约束条件 可出可行域如图所示，
令 ，则 ，
因此 表示直线 在 轴截距的 倍，
当直线 在 轴截距最大时， 取最大值，
由图像可得：当直线 过点 时，在 轴截距最大，
令 ，由 得， ；
所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，
结合图像即可求解，属于常考题型.
6. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __．
【答案】0
【解析】
【分析】由 ，可得 ，再代入等差数列前 n项和公式，即可得答案.
【详解】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
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