上海市交通大学附属中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题 含解析

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交大附中高三开学考数学试卷
2023.02
一、填空题（第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分，满分 54 分）
1. 正多面体按其面数分有___________种
【答案】5
【解析】
【分析】由正多面体的概念判断．
【详解】正多面体有正四面体，正方体（正六面体），正八面体，正十二面体，正二十面体共 5种，
故答案为：5.
2. 若 ，那么角 α的终边与角 β的终边___________
【答案】重合或关于 轴对称
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求解．
【详解】设 是 终边上一点（不与原点重合），则 （ 是坐标原点），
当 与 终边相同时，取同一点 ，
当 与 终边关于 轴对称时，取 终上点 ，计算可得
因此由 知，角 α的终边与角 β的终边重合或关于 轴对称．
故答案为：重合或关于 轴对称．
3. 若 ， ，那么 在 方向上的投影为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据投影的定义求解．
【详解】由已知 ， ， ，
所以 在 方向上的投影为 .
故答案为： ．
4. 已知集合 ， ，若 ，则实数 ___________
【答案】0或2
【解析】
【分析】根据并集的结论得出集合的包含关系,从而得出 的值.
【详解】∵ ，∴ ，
显然 ，若 ，则 ， 满足题意；
若 ，则 或 ， 不合题意， 代入可知满足题意，
综上， 或 2.
故答案为：0或2.
5. 已知复数 ， ，且 为纯虚数，则实数 ___________
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义先得到 ，化简 ，然后利用纯虚数的定义即可求解
【详解】由 可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为纯虚数，
∴ ，即 .
故答案为：
6. 已知 的展开式中第 5项的系数与第 3项的系数之比为 56：3，则 ___________
【答案】10
【解析】
【分析】由二项展开式通项公式得系数比，从而求得 ．
【详解】 ，
由已知第 5项的系数与第 3项的系数之比为 ，解得 （负值舍去）．
故答案为：10.
7. 甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为 、 、 ，现三人各投篮一次，则至少有一人命中的概率为__
_________
【答案】 ##
【解析】
【分析】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件 A，分析可先求 ，即可求得结果.
【详解】由题可记三人各投篮一次至少有一人命中为事件 A，
则 ，所以 .
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