上海市建平中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题（原卷版）

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建平中学 2022 学年第二学期高三年级数学开学考
一、填空题（共 12 小题）
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为____.
2. 已知向量 ，向量 ，则向量 在 方向上
的
投影向量为______．
3. 若不等式 无解，则 a
的
取值范围是______．
4. 已知圆 ，圆 ，则圆 与圆 的位置关系为______.
5. 从某小学所有学生中随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如
图），其中样本数据 分 组 ， ， ， ， ，若要 从 身 高在
， ， 三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取 12 人参加一项活动，则从身
高在 内的学生中抽取的人数应为______．
6. 已知正实数 a，b满足 a+b＝1，则 的最小值为_____．
7. 投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件 ：蓝色骰子的点数为 5或6；事件 ：两骰子的点数之和大于 8，
则已知事件 发生的条件下事件 发生的概率 ______.
8. 已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数 的图象附近，则可通
过转换得到的线性回归方程为________．
9. 已知函数 ， ，若对任意的 ，总存在实数
，使得 成立，则实数 a的取值范围为________．
10. 设平面向量 满足： ， ， ， ，则 的最大值为_____．
11. 若 为 的极大值点，则 的取值范围为______．
12. 在长方体 中， ， ，M为棱 BC 的中点，动点 P满足
，则点 P的轨迹与长方体的侧面 的交线长等于___________.
二、选择题（共 4小题）
13. “ 为第二象限角”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A. 越大，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B. 越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5
C. 越大，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等
D. 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
15. 已知向量 、 、 是空间的一个基底，其中与向量 、 一定构成空间另一个基底的向量是（
）
A. B.
C. D. 、 、 都不可以
16. 在平面直角坐标系中，已知点
的
坐标为 ，将点 绕原点按逆时针方向旋转角 得到点 ，
再将点 绕原点按逆时针方向旋转角 得到 ，…，如此继续下去，得到前 10 个点 ， ， ，…，
．若 是公差为 的等差数列，且点 ， ， ，…， 在同一函数图像上，则角 的取值可
以是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（共 5小题）
17. 如图，多面体 中，四边形 为菱形， 平面 ，且
.
（1）求证： ；
（2）求点 到平面
的
距离.
18. 已知等比数列 的前 n项和为 ，且 ；数列 满足 ， ；且
为等差数列．
（1）求
的
通项公式；
（2）求数列 的前 n项和 ．
19. 如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边 AD 为半圆的直径，O为半圆的圆心， ，
，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN，其底边 ，点 P在边 AB 上，设 ；
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