上海市嘉定区2022届高三二模数学试卷 参考答案

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A
B
C
D
P
O
2021 学年第二学期高三年级模拟练习数学试卷
参考答案
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4分，第 7---12 题每题 5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果．
1．
(
2,3
)
2．
−2<x<1
3．
8
4．
4
5．
60
6．
6
7．
2
8．
1
9．
10．
3
11．
x2
12 +y2
8=1
12．
(
6,10
)
二、选择题(本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸
的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．B 14．A 15．B 16．C
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的
步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
解：（1）由已知，得 OA＝2，PO＝6，则
PA=
√
PO2+OA2=2
√
10
．
所以圆锥的侧面积为 ，
于是圆锥的表面积为
S全=4
√
10 π+4π=4(
√
10+1)π
．
即所求圆锥的表面积为
4(
√
10+1)π
．
（2）联结
OD
．由题意得
PO⊥¿ ¿
平面
ABC
，因为
OC
⊂
¿
平面
ABC
，
所以
PO ⊥OC
．又因为点
C
是底面直径
AB
所对弧的中点，所以
OC ⊥AB
．
而
PO
、
AB
⊂
¿
平面
ABC
，
PO∩AB=O
，所以
OC ⊥¿ ¿
平面
PAB
．即
OD
是
CD
在平面
PAB
上的射影，所以
∠CDO
是直线
CD
与平面
PAB
所成角．
在
Rt △CDO
中，
OC=2
,
OD=1
2PA=
√
10
，
则
tan ∠CDO=OC
OD =2
√
10 =
√
10
5
，所以
∠CDO=arctan
√
10
5
．
因此直线
CD
与平面
PAB
所成角的大小为
arctan
√
10
5
．
18．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
解：（1）函数
f(x)=2x+1+a
2x
的定义域为
R
．
因为函数
y=f(x)
是偶函数，所以
f(−x)=f(x)
．
即
2−x+1+a
2−x=2x+1+a
2x
， 即
2（2−x−2x）=a(2−x−2x)
，
即
(2−x−2x)( a−2)=0
．因为
x∈R
，所以
a−2=0
，解得
a=2
．
因此所求实数
a
的值为
2
．
（2）因为
f(x)>1
，即
2x+1+a
2x>3
，因为
2x>0
，可得
−a<2⋅4x−3⋅2x
．
令
t=2x
，因为
x∈[1，+∞)
，所以
t
的取值范围是
[2,+∞)
，
于是
−a<2t2−3t
对任意
t∈[2,+∞)
都成立．
令函数
g(t)=2t2−3t
，它在区间
[2,+∞)
上是增函数，
所以当
t=2
时，函数
g(t)=2t2−3t
的最小值
2
， 则得
−a<2
，解得
a>−2
．
所以所求实数
a
的取值范围是
(−2,+∞ )
．
19．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
解：（1）因为
∠ACB=π
6
，
∠ABC=2π
3
，所以
∠BAC=π
6
．由题意得
∠BAD=π
2
，
所以
∠CAD=π
3
，因此
△ACD
是等边三角形，所以
AC=24
．
在
△ABC
中，由正弦定理得
AB
sin ∠ACB =AC
sin ∠B
，即
AB
sin π
6
=24
sin 2π
3
，
解得
AB=8
√
3
，
所以
△ABC
的面积等于
1
2⋅AC⋅AB⋅sin π
6=1
2⋅24⋅8
√
3⋅1
2=48
√
3
（平方米）．
答：
△ABC
的面积等于
48
√
3
平方米．
（2）因为
∠ABC=2π
3
，
∠ACB=θ
，所以
∠BAC=π
3−θ
．
又因为灯柱
AB
与地面垂直，即
∠BAD=π
2
，所以
∠CAD=π
6+θ
．
因为
∠ACD=π
3
，所以
∠ADC=π
2−θ
．
在
△ACD
中，由正弦定理得
AD
sin ∠ACD =AC
sin ∠ADC
，即
24
sin π
3
=AC
sin(π
2−θ)
，
解得
AC=16
√
3 cos θ
．
又在
△ABC
中，由正弦定理得
AB
sin ∠ACB =AC
sin ∠B=BC
sin ∠BAC
，
即
AB
sin θ=16
√
3 cosθ
sin 2π
3
=BC
sin (π
3−θ)
，解得
AB=16 sin 2θ
，
BC=32 cos θsin(π
3−θ)
，…4分
则得
BC=8
√
3+8
√
3 cos 2 θ−8 sin 2 θ
，
所以
L=AB+BC=8
√
3+8
√
3 cos 2θ+8 sin 2θ
，
化简得
y=8
√
3+16 sin(2θ+π
3)
，（
π
6≤θ≤π
4
）．
因为
π
6≤θ≤π
4
，则得
2π
3≤2θ+π
3≤5π
6
，
所以当
2θ+π
3=5π
6
，即
θ=π
4
时，
ymin=8(
√
3+1)
（米）．
答：
L
关于
θ
的函数解析式为
y=8
√
3+16 sin(2θ+π
3)
，（
π
6≤θ≤π
4
），且当
θ=π
4
时，
L
取
得最小值．
20．（本题满分 16 分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分）
（1）解：由题意得
{
b
a=
√
13 ¿¿¿¿
，解得
{
a=
√
3¿¿¿¿
，
所以双曲线
C
的标准方程为
x2
3−y2
39 =1
．
（2）设
N（x0, y0)
．因为
M
是线段
AN
的中点，所以
M（x0−9
2,y0
2)
．
则得
x02
3−
y02
39 =1
，
（x0−9）2
3×4−
y02
39×4=1
，解得
x0=4, y0=±13
，
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