上海市嘉定区2022届高三二模数学试卷
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俯视图
左视图
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2021 学年第二学期高三年级模拟练习
数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7～12 题每题 5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合
A=
(
1,3
)
，
B=
(
2,+∞
)
，则
A∩B=
____________．
2．不等式
x−1
x+2<0
的解为____________．
3．若等差数列
{an}
满足
a3+a5=16
，则
a4=
____________．
4．已知函数
f(x)=1+log2x
，它的反函数为
y=f−1(x)
，则
f−1(3)=
____________．
5．在
(2x+1)6
展开式中，
x2
的系数为_____________（结果用数值表示）．
6．若实数
x
、
y
满足 ，则
z=2x+y
的最大值为_______．
7．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．
已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为______
__．
8．若数列
{an}
是首项为
1
2
，公比为
a−1
2
的无穷等比数列，且数列
{an}
各项的和为
a
，则实数
a
的值为 ．
9．从
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
这
10
个数中任取
5
个不同的数，则这
5
个不同的
数的中位数为
6
的概率为_____________（结果用最简分数表示）．
10 ．已知函数
y=f(x)
是定义域为 的 奇函数，且当
x<0
时，
f(x)=x+a
x+1
．若函 数
y=f(x)
在
[3,+∞)
上的最小值为
3
，则实数
a
的值为____________．
11．已知椭圆 (
θ
为参数，
a>0
，
b>0
)的焦点分别
F1(−2,0 )
、
F2(2,0)
，点
为椭圆 的上顶点，直线 与椭圆 的另一个交点为
B
．若 ，则椭圆
的普通方程为_______________．
12 ．已 知 函 数
f(x)=sin(ωx +ϕ)
， 其 中
ω>0
，
0<ϕ<π
，
f(x)≤f(π
4)
恒 成 立 ， 且
A
B
C
P
O
D
y=f(x)
在区间
(
0,3π
8
)
上恰有
3
个零点，则
ω
的取值范围是______________．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在
答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知复数
z=（2sin α−1)+i
（
i
为虚数单位），则“
z
为纯虚数”是“
α=π
6
”的（
）．
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．若
a>0
、
b>0
，且
4
a+1
b=1
，则
ab
的最小值为 （
）．
（A）
16
（B）
4
（C）
1
16
（D）
1
4
15．在
△ABC
中，
AB=AC=3
，
⃗
BD=2
⃗
DC
．若
⃗
AD⋅
⃗
BC=4
，则
⃗
AB⋅
⃗
AC=
（ ）．
（A） （B） （C） （D）
16．在正方体
ABCD−A1B1C1D1
中，
E
、
F
分别是线段
AB
、
BD1
上的动点，且直线 与
所成的角为
arctan
√
2
，则下列直线中与 所成的角必为
arctan
√
2
2
的是 （
）．
（A）
CD
（B）
BD
（C）
BC1
（D）
DC1
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的
步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
如图，圆锥的底面半径
OA=2
，高
PO=6
，点
C
是底面直径
AB
所对弧的中点，点
D
是
母线
PA
的中点．求：
（1）该圆锥的表面积；
（2）直线
CD
与平面
PAB
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
A
B
C
D
18．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
设常数
a∈R
，函数 ．
（1）若函数
y=f(x)
是偶函数，求实数
a
的值；
（2）若对任意
x∈[1，+∞)
，
f(x)>3
，求实数
a
的取值范围．
19．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱
AB
与地面垂直，灯杆
BC
与灯柱
AB
所
在的平面与道路走向垂直，路灯
C
采用锥形灯罩，射出的光线与
平面
ABC
的部分截面如图中阴影部分所示．已知
∠ABC=2π
3
，
∠ACD=π
3
，路宽
AD=24
米．设
∠ACB=θ
（
π
6≤θ≤π
4
）．
（1）当
θ=π
6
时，求
△ABC
的面积；
（2）求灯杆
BC
与灯柱
AB
长度之和
L
（米）关于
θ
的函数解析式，并求当
θ
为何值时，
L
取得最小值．
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