上海市虹口区2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试 数学 含答案

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2023 届虹口区一模
一、填空题
1. 不等式 的解集为____________
2. 对于正实数 ，代数式 的最小值为____________
3. 已知一个球的半径为 3，则这个球的体积为____________
4. 在 的二项展开式中 项的系数为____________
5. 设 为虚数单位，若 是关于 的二次方程 的一个虚根，则 ___
_
6. 已知首项为 2 的等比数列 的公比为 ，则这个数列所有项的和为____________
7. 设曲线 的斜率为 3 的切线为 ，则 的方程为____________
8. 第 5 届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的 4 名同学参加了连续 5 天的志
愿者活动.已知甲同学参加了 2 天的活动，其余同学各参加了 1 天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概
率为____________.(结果用分数表示)
9. 设 ，若函数 为奇函数，则 ____________
10. 设函数 (其中 )，若函数 图像的对称轴 与其对称
中心的最小距离为 ，则 ____________
11. 在 中 ， 是 的 外 心 ， 若 ， 其 中
，则动点 的轨迹所覆盖图形的面积为____________
12. 已知 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线交双曲线的右支于 两点，
且 ，则在下列结论中，正确结论的序号为____________（注意:不填或
错填得 0 分，漏填得 2 分.）
(1)双曲线 的离心率为 2；
(2)双曲线 的一条渐近线的斜率为 ；
(3)线段 的长为 ；
(4) 的面积为 .
二、选择题
13. 设 ，已知直线 与圆 ，则“ "是“直线 与圆 相交"的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14. 若复数 满足 且 ，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
15. 已知 是椭圆 与抛物线 的一个共同焦点， 与 相交于
两点，则线段 的长等于( )
(A) (B) (C) (D)
16. 已 知 函 数 ， 数 列 满 足 ， 且 为 正 整 数 . 则
( )
(A) (B)1 (C) (D)
三、解答题
17. 设 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求证: 是直角三角形.
18. 在等差数列 中， ，且 构成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记 为数列 的前 项和，若 ，求正整数 的最小值.
19. 如图，在三棱柱 中，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形，侧面 为菱
形，点 在底面上的投影为 的中点 ，且 .
(1)求证: ；
(2)求点 到侧面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与侧面 所成角的正弦值为 ?若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由.
20. 本市某区对全区高中生的身高(单位:厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.
（1）若数据分布均匀，记随机变量 为各区间中点所代表的身高，写出 的分布及期望；
（2）已知本市身高在区间 的市民人数约占全市总人数的 ，且全市高中生约占全市总人数
的 .现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取 1 人，若此人的身高位
于区间 ，试估计此人是高中生的概率；
（3）现从身高在区间 )的高中生中分层抽样抽取一个 80 人的样本.若身高在区间 中样
本的均值为 176 厘米，方差为 10；身高在区间 中样本的均值为 184 厘米，方差为 16，试求这 80
人的方差.
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