上海市格致中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题 含解析

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格致中学 2022 学年第二学期高三年级数学开学考
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.其中第 1~6 题每题满分 4分，第 7~12 题每题满分
5分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1. 若 ，则 ．
【答案】
【解析】
【详解】∵，∴，∴.
考点：对数的计算
2. 在 的展开式中常数项是________________.（用数字作答）
【答案】45
【解析】
【详解】(x4+ )10 的通项为
= ( )r= ,
令40-5r=0,解得 r=8,代入得常数项为
= =45.
3. 已知等差数列 前 15 项的和 =30，则 =___________．
【答案】6
【解析】
【详解】试题分析：∵等差数列 的前 15 项的和 ,∴， 而
．
考点：等差数列的性质．
4. 若复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出复数 ，再根据复数的几何意义即可得出答案.
【详解】解： ，
因为复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
5. 设 是两个单位向量，向量 ，且 ，则 的夹角为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.
【详解】由 可得 ，
又因为 是两个单位向量，所以 ，
所以 ，
解得 ，即 的夹角为 ，
故答案为：
6. 已知抛物线 上的两个不同的点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，则直线 的
方程为______．
【答案】 .
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，根据题意结合韦达定理可得 ，
联立方程，再次里由韦达定理求得 ，从而可求出 ，即可得解.
【详解】解：由题意，直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，
因为点 ， 的横坐标恰好是方程 的根，
所以 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
所以 ，所以 ，
经检验，符合题意，
所以直线 的方程为 .
故答案为： .
7. 下列命题中错误的是__．
① 将一组数据中
的
每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
② 在一组样本数据 （ 不全相等）的散点图中，若所有样本
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