上海市复旦大学附属中学2023届高三下学期3月月考数学试题

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复旦附中 2023 届高三年级 3月份教学质量检测数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分.第1-6 题每题 4分，第 12 题每题 5分）
1. 已知集合 ，则 ___________．
2. 已知 i为虚数单位，则复数 的虚部为___________．
3. 已知幂函数
的
图像过点 ，则 的值为___________．
4. 已知 ， ，则 _______．
5. 已知直线 ，为使这条直线不经过第二象限，则实数 的范围是_______.
6. 已知 为实数，函数 在 处的切线方程为 ，则 的值为___________．
7. 若关于 的方程 在 上有实数根，则实数 的取值范围是________．
8. 在平行六面体 中， ， ， ，
则异面直线 与 所成角的余弦值是________．
9. 下列说法中正确的是______．
① 设随机变量 X服从二项分布 ，则
② 已知随机变量 X服从正态分布 且 ，则
③ 小赵、小钱、小孙、小李到 4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4 个人去的景点互不相同”，
事件 “小赵独自去一个景点”，则 ；
④ ， ．
10. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F的直线 与抛物线 C交于 A（点 A
在第一象限），B两点，且 ，则 （O为坐标原点）的面积是______．
11. 已知数列 满足 ，且对于任意的正整数 n，都有 ．若正整数 k使 得
对任意的正整数成立，则整数 k的最小值为___________．
12. 已知对任意的 ，均有 ，则 的最小值为___________．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分.第13-14 题每题 4分，第 15-16 题每题 5分）
13. 设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A
.
若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
14. 已知函数 的图象关于点 对称，将函数
的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则 的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知正实数 a，b满足 ，则
的
最小值为（ ）
A. B. 3 C. D.
16. 已知 ，函数 的定义域为 的值域为 的子集，则这
样的函数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个
三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要
的步骤.
17. 已知在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 平面 ，点 为 中点，
.
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
18. 某学校为丰富学生
的
课外活动，计划在校园内增加宣外活动区域（如所示 ）已知教学楼用
直线 表示，且 ，ED 是过道， A是 之间的一定点路口，并且点 A到 的距离 分别为
2，6，B是直线 上的动点，连接 AB，过点 A作 ．且使得 AC 交直线 于 C，点 B，C均在
DE 的右侧，设
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