上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析

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上海市复旦大学附属中学 2021-2022 学年高一下学期末数学试卷
一、填空题
1. 已知复数 满足 (是虚数单位)，则复数 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.
【详解】解：因为 ，所以 .
故答案为：
2. 已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则实数 _
______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为 0
列出方程，求出 的值.
【详解】因为 ，所以直线 的方向向量与平面 的法向量垂直，
即 ，解得： .
故答案为：10
3. 已知圆柱的底面半径为 2，高为 2，则该圆柱的侧面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】圆柱
的
侧面展开为矩形，求出矩形的长和宽，得到侧面积.
【详解】圆柱
的
侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即 ，另一边长为
2，故圆柱的侧面面积为 .
故答案为：
4. 已知向量 ，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于 0，且不反向共线，列出不等式，求出实数 的取值范围.
【详解】 ，
因为 与 的夹角为钝角，所以
所以 ，解得： ，
且 与 不反向共线，
即 ，解得： ，
综上： ，
故答案为： .
5. 正方体 的棱长为 2，则直线 与平面 的距离是__．
【答案】
【解析】
【分析】先证明出 平面 ，得到 到平面 的距离即为直线 与平面 的距
离，作出辅助线，证明出 BD⊥平面 ，BO 即为直线 与平面 的距离，求出
即为答案.
【详解】因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故点 到平面 的距离即为直线 与平面 的距离，
连接 交 于点 ，
因为四边形 为正方形，所以 ⊥BD，
又因为 ⊥平面 ABCD， 平面 ABCD，
所以 ⊥BD，
因为 ， 平面 ，
所以 BD⊥平面 ，故 BO 即为直线 与平面 的距离，
因为正方体 的棱长为 2，
所以 ，
故直线 与平面 的距离为 .
故答案为：
6. 如图，长方体 中， ，点 和 分别为线段 和
的
中
点，则异面直线 与 所成角的余弦值为__．
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