2023届上海市松江区高考一模数学试题（官方标答）

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2022.12 松江区高三数学一模试卷参考答案
一、填空题
1． ； 2． ；3． ； 4． ；5． ； 6． ；7．
8．
；9． ；10．；11． ；12．①.（0，2）②.
二、选择题
13．B 14．C 15．A 16．A
三.解答题
17．解：（1）∵AB⊥面 BCD， //
由三垂线定理得：/ ，…………………2分
又∵BC⊥CD 且AB∩BC＝B， 平面 ，
∴CD⊥面 ABC，…………………2分
∵ 平面 ACD, ∴平面 ACD⊥平面 ABC．……………2分
（2）∵DC⊥面 ABC，∴∠CAD 即为直线 AD 与平面 ABC 所成的角，………2分
∵BC＝CD＝ ，∠BCD＝90°，∴BD＝ ，
又AB＝1，∴AD＝3，
∴在 中， .…………………3 分
即直线 AD 与平面 ABC 所成角的大小为 ．…2分
注：用空间向量求解，请相应给分.
18．解：（1）在
ABC△
中，由正弦定理
sin sin
a b
A B
，可得
sin sinb A a B
，
又由
sin cos 6
b A a B
 
 
 
 
，得
sin cos 6
a B a B
 
 
 
 
，即
sin cos 6
B B
 
 
 
 
，……2分
可得
tan 3B
．……2分
又因为
 
0,B 
，可得
．……2分
,AB BC
ABC
CD
Rt ACD△
（2）因为
c=2a , △ABC
的面积为 ，
所以
S△ABC=1
2ac sin B=1
2× a× 2a×
❑
√
3
2
=2❑
√
3
3
，解得 ， ……2分
所以 ．
由余弦定理 ，可得 ，
解得 ． ……4分
所以
△ABC
的周长为 ……2分
19．解：（1）由题意得： ……2
分
……2分
米 ……2分
所以，谷底 到桥面 的距离为 160 米，桥 的长度为 120 米。
（2）设总造价为 万元， ，设 ，
……4分
(0 舍去)
当 时， ；当 时， ，
因此当 时， 取最小值. ……4分
2 3
3
2 3
3
a
4 3
23
c a 
2 2 2
2 cosb a c ac B  
2 2
2
2 3 4 3 2 3 4 3 1
2 4
3 3 3 3 2
b  
 
 
 
2b
2 3 4 3
2 2 2 3
3 3
a b c   
2 3
1 1
| | 40 6 40 | | 80
40 800
O A O A
 
 
| | | | | | 80 40 120AB O A O B
 
 
( )f x
2
1
| | 80 160
40
O O
 
| |O E x
3 2
1 3 1
( ) (160 6 ) [160 (80 ) ], (0 40)
800 2 40
f x k x x k x x  
3 2 2
1 3 3 6
( ) (160 ), ( ) ( ) 0 20
800 80 800 80
f x k x x f x k x x x
 
0 20x 
( ) 0f x
20 40x 
( ) 0f x
20x=
( )f x
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