《精准解析》上海市长宁区2023届高三二模数学试题

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2023 届长宁区高三二模考试数学试卷
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 ______.
2．若“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值范围为___________．
3．已知事件 A与事件 B相互独立，如果 ， ，那么 _______
___．
4．已知圆锥侧面展开图的圆心角为 ，底面周长为 ，则这个圆锥的体积为__________
_．
5．若函数 为奇函数，则实数 a的值为___________．
6．设随机变量 X服从正态分布 ，若 ，则 ___________．
7．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个 2平方米的矩形植物种植园，矩形的
一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．
8．若函数 ， 满足 ，且 ，则 _________
__.
9．若对任意 ，均有 ，则实数 a的取值范围为___________．
10．已知空间向量 ， ， ， 满足： ， ， ，
，则 的最大值为___________．
11．已知 是双曲线 的左、右焦点，l是 的一条渐近线，以
为圆心的圆与 l相切于点 P，若双曲线 的离心率为 2，则 __________．
二、单选题
12．在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（）
A．平均数 B．众数 C．百分位数 D．标准差
13．设复平面上表示 和 的点分别为点 A和点 B，则表示向量 的复数在复平面
上所对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知正方体 ，点 P在直线 上，Q为线段 BD 的中点．则下列说法
不正确的是（）
A．存在点 P，使得
B．存在点 P，使得
C．直线 PQ 始终与直线 异面
D．直线 PQ 始终与直线 异面
15．设各项均为实数的等差数列 和 的前 n项和分别为 和 ，对于方程①
，② ，③ ．下列判断正确的是
（）
A．若①有实根，②有实根，则③有实根
B．若①有实根，②无实根，则③有实根
C．若①无实根，②有实根，则③无实根
D．若①无实根，②无实根，则③无实根
三、解答题（本大题共有 5题、满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应
位置写出必要的步骤．
16．盒子中有 5个乒兵球，其中 2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取 2次小球，
每次一个．
(1)记“第二次摸出的小球是正品”为事件 B，求证： ；
(2)用X表示摸出的 2个小球中次品的个数，求 X的分布列和期望．
17．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
， ， 分别为棱 中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，直线 与平面 所成的角为 ，且 ，求二面
角 的大小．
18．某地新能源汽车保着量符合阻沛型增长模型 ，其中 为自统计之日起，
经过 t年后该地新能源汽车保有量、 和 r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近 6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
t01234
保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4
假设该地新能源汽车饱和量 万辆．
(1)若 ，假设 2018 年数据满足公式 ，计算的值（精确到0.01）并估
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