上海市长宁区2022-2023学年高三上学期教学质量调研（一模）数学试题答案

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高三数学试卷共 4 页第 1页

2022 学年第一学期高三数学教学质量抽测试卷

参考答案与评分标准

一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7～12 题每题 5分）．

 

2, 4 2.

 

1, 2 ．3. 2

2. 4. 3. 5.3. 6. ①④.

7.180. 8. 4. 9. 5

2. 10. π

4. 11. 8 2

312. 8 6

二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4分，第 15、16 题每题 5分）．

13. A 14. C 15. D 16. C

三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分）

17．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）.

解：（1）1 1

b a，2 2 1 2b a a   ，3 5 1 8b a a  

因为 2

2 1 3

b b b，所以

   

1 1 1

2 8a a a   ，………2 分

得11a，11b，23b，………4 分

所以数列

 

b的公比为 3，数列

 

b的通项公式为 1

b

. ………6 分

（2）因为数列

 

a的公差为 2，

所以

 

S na n n   ，

 

12 1

a a n   ………4 分

因为 1 1 6

a a 

  ，所以 1

3k a  ，……….6 分

所以 12 3k

S a，所以 1 1 1

12 132 3 6 6 12 3a a k a      ，

得18a  . ……….8 分

18．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）.

解：（1）因为我 2 2 2 2 cosb a c ac B  

所以

2 2 2 1cos

4 2

a c b ac B

  ，…………..2 分

又因为

2 2 2

1sin

2 4

a c b

S ac B  

  ，…………..2 分

所以 tan 1B，

因为

 

0, πB，所以 π

B. …………..6 分

（2）因为 sin 3 sinA B，所以 3a b，………..2 分

因为 2 2 2 2 cosc a b ab C   ，

所以 2 2 2 2 2

3 2 3 2

c b b b b     ，……….4 分

高三数学试卷共 4 页第 2页

得b c，进而 3a c，…………6 分

因为 3ac ，所以 1c. …………8 分

19．（本题满分 16 分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分）.

（1）证明：因为 E、F分别为棱 BC 、CD 的中点.

所以 //EF BD ，………2 分

因为 BD 平面 ABD ，EF 不在平面 ABD 上，

所以 //EF 平面 ABD . ……….4 分

（2）因为平面 ACD 平面 ABC ，AD AC，

所以 AD 平面 ABC ，……….2 分

所以 AD BC，……….4 分

因为 AB BC，AD AB A，所以 BC 平面 ABD . ………6 分

（3）因为 AD 平面 ABC ，

所以 DCA即为直线 CD 与平面 ABC 所成的角，得 45DCA  

所以 2

cos 45 2

AD CD CD   ，………2 分

因为 BC 平面 ABD ，

所以 CDB即为直线 CD 与平面 ABD 所成的角，得 30CDB  

所以 1

sin 30 2

BC CD CD   ，………4 分

因为 AD 平面 ABC ，所以 AD AB，又 AD CD，

所以 BAC即为二面角 B AD C  的平面角，

由AB BC，得 2

sin 2

BAC AC

   ，得 45BAC  

所以二面角 B AD C  的大小为 45. ……….6 分

20．（本题满分 16 分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分）.

解：（1）

 

1,0F，双曲线 C的半焦距 1c…….2 分

双曲线

22 1

a  的的标准方程为

2 2

x y

a  ,

所以 211

a  ，得 2

a，

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