上海市延安中学2020-2021学年高一下学期期末考数学试卷 含解析

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2020-2021 学年上海市长宁区延安中学高一下期末考
数学试卷
一、填空题（每小题 3分，共 39 分）
1．复数 z＝2+i的虚部为　 　．
2．计算： ＝　 　．
3．函数 ， 的值域为 　 　．
4．方程 的解集为 　 　．
5．已知 M（3，﹣2），N（0，4），若 ，则点 P的坐标为 　 　．
6．已知复数 z满足 ＝ ，则|z+i|＝　 　．
7．已知复数 z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1， ，则|z1﹣z2|＝　 　．
8．已知向量 ， ，若平面上任意向量都可以唯一地表示为
与 的线性组合，则实数 m的取值范围是 　 　．
9．已知虚数 z是1的一个四次方根，复数 μ＝zn+（ ）n，n∈N，用列举法表示满足条件的
μ组成的集合为 　 　．
10．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影的坐标为 　 　．
11．已知复数﹣3+3i在复平面上所对应的向量是 ，将 绕原点 O顺时针旋转 120°得到
向量 ，则向量 所对应的复数为 　 　（结果用复数的代数形式表示）．
12．已知函数 y＝tanωx在区间 上是严格减函数，则实数 ω的取值范围是
．
13．如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆 A（前轮）、圆 D（后轮）的半径均为 ，
△ABE，△BEC，△ECD 均是边长为 4的等边三角形；设点 P为后轮上的一点，则在骑
动该自行车的过程中， 的最大值为 　 　．
二、选择题（每小题 3分，共 15 分)
14．设 z1、z2∈C，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15． 的三角形式是（　　）
A．
B．
C．
D．
16．在下列各式中，正确的是（　　）
A．B．
C．若 ，则 D．若 ，且 ，则
17．已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ， ，则下
列选项正确的是（　　）
A．若 ，则 x＞0，y＞0 B．若 ，则 x＜0，y＜0
C．若 ，则 x＞0，y＞0 D．若 ，则 x＜0，y＜0
18．甲、乙两个同学对问题“已知 m＞0，n＞0，若关于 x的实系数一元二次方程 x2﹣px+m
＝0的两个根 x1，x2，满足|x1﹣x2|＝n，求实数 p的值”，各自提出一个猜测：
甲说：“对于任意一组 m，n的值，p的不同值最多有 4个；”
乙说：“存在一组 m，n的值，使得 p的不同值恰有 3个．”
则下列选项正确的是（　　）
A．甲的猜测正确，乙的猜测错误
B．甲的猜测错误，乙的猜测正确
C．甲、乙的猜测都正确
D．甲、乙的猜测都错误
三、解答题（共 46 分)
19．已知复数 z满足 z+4 为纯虚数，且 为实数；若复数（z+mi）2在复平面上对应的点
在第四象限，求实数 m的取值范围．
20．已知向量 ， ．
（1）求 ， 的夹角 ；
（2）若 ，求实数 k的值．
21．若在复数范围内，关于 x的方程 x22﹣ax+a2﹣a＝0至少有一个模为 2的根，求实数 a
的值．
22．如图，平行四边形 ABCD 中， ．
（1）若 ，E为AM 中点，求证：点 D，E，N共线；
（2）若∠DAB＝60°， ，求 的最小值，及此时 的值．
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