上海市吴淞中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

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吴淞中学 2022 学年第一学期末学科指标评估

高二年级数学学科

一填空题（共､12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）

1.双曲线的渐近线方程为__________.

2.设等差数列的前项和为，若，则等于__________.

3.使直线与直线平行，求 _________

4.数学归纳法证明：时，

当从到时等式左边增加的项为__________.

5.若是由正数组成的等比数列，且，则 _____

_____.

6.已知数列的前项和，求的通项公式__________.

7.若是等差数列，首项，则使前项和

成立的最小自然数是__________.

8.动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是___

_______.

9.已知为正整数，二次函数图像为抛物线，若此抛物线在轴截

得的线段长构成数列，则 __________.

10.已知点 O和点分别是椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则

的最小值为__________.

11.已知数列满足，则的最小值为__________.

12.对于数列，定义为数列的“好数”.已知某数列

的“好数” ，记数列的前项和为，若对任意的

恒成立，则实数的取值范围为__________.

二选择题（共､4题，每题 5分，共 20 分）

13.点为圆外一点，则直线与该圆的位置关

系为（）

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定

14.已知数列的前项和，则是为等差数列的（）条

件

A.充要 B.充分非必要

B.必要非充分 D.既不充分也不必要

15.设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有

，若，数列的前项和组成数

列，则有（）

A.数列递增，最大值为 1 B.数列递减，最大值为 1

C.数列递减，最小值为 D.数列递增，最小值为

16.设曲线的方程为，动点在

上，对于结论：①四边形的面积的最小值为 48；②四边形外接圆的面积的

最小值为；下面说法正确的是（）

A.①错②对 B.①对②错

C.①② 都对 D.①② 都错

三解答题（共､5题，共 14+14+14+16+18=76 分）

17.已知数列，前项和为 .

（1）若为等差数列，且，求；

（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.

18.已知抛物线 .

（1）若上一点到其焦点的距离为 3，求的方程；

（2）若，斜率为 2的直线交于两点，交轴的正半轴于点为坐标原

点，，求点的坐标.

19.某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程

中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是 4万元，从第二年到第七年，每年的维护

费用均比上年增加 2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加

（1）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；

（2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于 12 万元时，需要更新生产线，求该生产

线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？

20.已知椭圆，过定点的直线交椭圆于两点，其中

（1）若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；

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