河北省唐山市2023届高考三模数学答案

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高三数学答案 第 1 页
唐山市 2022~2023 学年度高三年级第三次模拟演练
数学参考答案
一．选择题（单选）：
1~4．DBCC 5~8．ADDB
二．选择题（不定项选）：
9．BC 10．AC 11．AC 12．ABD
三．填空题：
13． 7
8 14． 4 3
3 15．
[
1
2e，＋∞
)
16．5，42
四．解答题：
17．解：
（1）已知 a2
n＋2an＋1＝4Sn ①，
当n＝1时，a1＝1． …1分
当n≥2时，a2
n－1＋2an－1＋1＝4Sn－1 ②，
①－②得：a2
n＋2an－a2
n－1－2an－1＝4an， …2分
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0． …3分
又an＞0，所以 an－an－1＝2. …4分
所以数列{an}是以 1为首项，2为公差的等差数列.
所以 an＝2n－1. …5分
（2）设 bn＝(－1)n
(
4n
anan+1
)
＝(－1) n
[
4n
(2n－1)(2n+1)
]
…6分
＝(－1) n
(
1
2n－1＋1
2n+1
)
. …8分
Tn＝－
(
1＋ 1
3
)
＋
(
1
3＋ 1
5
)
－
(
1
5＋ 1
7
)
＋···＋(－1) n
(
1
2n－1＋1
2n+1
)
＝－1＋(－1) n1
2n+1. …10 分
18．（1）证明：过点 A作AE⊥PB 于点 E， …1分
因为平面 PAB⊥平面 PBC，且平面 PAB∩平面 PBC＝PB，AE平面 PAB，
所以 AE⊥平面 PBC， …2分
又BC平面 PBC，所以 AE⊥BC， …3分
又PA ⊥平面 ABC，BC平面 ABC，则 PA ⊥BC， …4分
又因为 AE∩PA ＝A，AE，PA 平面 PAB，
所以 BC⊥平面 PAB． …5分
（2）解：由（1）知 BC⊥平面 PAB，AB平面 PAB，得 BC⊥AB，
又VP－ABC＝18，AB＝6，BC＝3，
高三数学答案 第 2 页
所以 1
3× 1
2×AB×BC×PA＝18，PA＝6， …6分
以B为原点，分别以 BC
→
、BA
→
为x轴、y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系
B－xyz，则 B(0，0，0)，A(0，6，0)，C(3，0，0)，P(0，6，6)． …7分
又因为 PD＝2DC，所以 D(2，2，2)． …8分
AD
→
＝(2，－4，2)，AB
→
＝(0，－6，0)，
AC
→
＝(3，－6，0)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面 ABD 的一个法向量，
则
AD
→
·m＝0，
AB
→
·m＝0，
即
2x1－4y1＋2z1＝0，
－6y1＝0，
所以可取 m＝(－1，0，1)． …9分
设n＝(x2，y2，z2)是平面 ACD 的一个法向量，
则
AD
→
·n＝0，
AC
→
·n＝0，
即
2x2－4y2＋2z2＝0，
3x2－6y2＝0，所以可取 n＝(2，1，0)． …10 分
则|cosm，n|＝|m·n|
|m||n|＝10
5． …11 分
所以平面 ABD 与平面 ACD 的夹角的余弦值为 10
5． …12 分
19．解：
根据正弦定理得：sinAsinB＝sinBcosB， …1分
由于 sinB≠0，可知 sinA＝cosB，即 sinA＝sin
(
2＋B
)
， …2分
因为 A为钝角，则 B为锐角，即 B∈
(
0，
2
)
，
则
2＋B∈
(
2，
)
，则 A＝
2＋B，C＝
2－2B． …4分
（1）由 A＝
2＋B，C＝
6，A＋B＋C＝，得 A＝2
3． …5分
（2）cosA＋cosB＋cosC
＝cos
(
2＋B
)
＋cosB＋cos
(
2－2B
)
＝－sinB＋cosB＋sin 2B …7分
＝cosB－sinB＋2sin Bcos B．
因为 C＝
2－2B为锐角，所以 0＜
2－2B＜
2，即 0＜B＜
4． …8分
A
B
C
D
P
E
x
y
z
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