河北省保定市六校联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学答案和解析

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答案第 1页，共 8页
六校联盟高一年级联考（2023.04）
参考答案
1．C 【详解】
( )( )
( )( )
3 4i 2 i
3 4i 10+5i 2+i
2 i 2 i 2 i 5
z+−
+
= = = =
+ + −
，所
4 1 5z= + =
.
2．C 【详解】∵ 与 的方向相反，∴
ab
=
（
0
）．设
( )
,a x y=
，则
( ) ( )
, 3,-2xy
=
，于是
3,
-2 .
x
y
=
=
由
，得
22
117xy+=
，即
2 2 2
9 4 13 117
 
+ = =
，∴
29
=
，
3
=−
，∴
( )
-9,6a=
．
3．D 【详解】在 中，因为
60A=
，
2
sin sin sinA B C=
2
a bc=
，
由余弦定理可得，
2 2 2 2 2
2 cosa b c bc A b c bc= + − = + −
，所以
22
bc b c bc= + −
，即
( )
20bc−=
，所以
bc=
，结合
60A=
可得 一定是等边三角形．
4．A 【详解】由
2+i
是关于
x
的方程
20x mx n− + =
的一个根，则
2-i
是关于
x
的方程
20x mx n− + =
的另一个根，则
2 i 2 i 4m= − + + =
，
(2 i) (2 i) 5n= −  + =
，
即
4m=
，
5n=
，则
9mn+=
，
5．B 【详解】由题意得
22
22
+++ 2 1 2 1 cos ( ) 433a b a a b b
= + =   + =
，
解得
cos 0
=
，又
 
0,π
，所以
sin 1
=
，所以
1a b a = =
.
6．C 【详解】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四
面体体积，由正四面体的体积为
可得正四面体棱长 a=6
因为棱长为 1的正四面体的高
2
2 3 6
13 2 3
h
= − =



，则棱长为 1的正四面体
的体积
2
11 3 6 2
1
3 4 3 12
V   ==
，所以该截角四面体的体积为
答案第 2页，共 8页
3
2 46 2
18 2 4 2
12 3
V= −  =
．
7．D 【详解】设 的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
2c=
,则
AB
边上的高
3
sin sin60 2
h a B a a= =  =
，由正弦定理得
( )
sin 120
sin 3 1
sin sin tan
C
A
aC C C
−
= = = +
.
ABC
为锐角三角形
62
C

 
，则
3
tan 3
C
，所以
( )
31 1,4
tan
aC
= + 
，从
323
2h
，因此
AB
边上的高的
取值范围是
3
2,2 3




.提示：也可画图处理，考虑临界情况直角三角形时.
8．B 【详解】不妨设向量
(1,0)a=
，
( , )b m n=
，则
(1 , )a xb xm xn− = − −
，
( , )b ya m y n− = −
，所以
( )
22 2 2 2 2
(1 ) ( ) 2 1a xb mx xn m n x mx− = − + − = + − +
，又对任意
实数
x
有
a xb−
的最小值为
3
2
，所以
( )
( )
2
2 2 2
22
4 ( 2 ) 3
2
4
m n m
mn
+ − − 
=
+
22
3nm=
．又
2 2 2
| | ( )b ya m y n− = − +
，对任意实数
y
有
b ya−
的最小值为 ，所以
23n=
，所以
2
33m=
，即
1m=
．由
(1 , )a b m n+ = +
，可得
22 2 2 2
(1 ) 2 1 7a b m n m n m+ = + + = + + + =
或3，故
73ab+= 或
．提示：也可考虑几何方法
9．BD 【详解】对于 A，
3 i,2 i++
是虚数，不能比较大小，故错误；
对于 B,
234
i i i i i 1 i+1 0+ + + = − − =
，
2 3 4 2023
i i i i + +i i 1 i 1+ + + = − − = −
故正确；
对于 C,
( )
2
1 2i i34z=+ = − +
，复数
z
对应的点
( 3,4)−
位于第二象限，故错误；
对于 D, 复数
z
满足
11zz− = +
，即复数
z
对应的点到点
(1,0),( 1,0)−
的距离相
等，故
z
在复平面内对应的点的轨迹为
(1,0),( 1,0)−
连线的中垂线，故正确，
答案第 3页，共 8页
10．ACD 【详解】A．当
，
ab
+ = -4 4
)
(
时，
=
t1
故A不正确 B.
⊥
ab
，则
= − + =
a b t
12 3 0
，
=
t4
，B正确；
a
与
b
夹角为钝角时，则
= − +
ab 12 3t<0
，
t4,
当t=-1 时向量
ab,
反向，所以
a
与
b
夹角为钝角时
且
 −
t4 t 1
，C不正
确；
=t2
时，
=
b(2,2)
，
a
在
b
上的投影向量为
=

−
−

bb
a b b
2,3
·
2
3
，D不正确．
11．ABD 【详解】如图 1，设圆锥母线为
l
，高为
h
，由半径
r
＝
3
，体积
为
得
=

V3
= 3 h
12
，所以
h=1
，
= + =
l h r 2
22
，侧面积为
=
rl π
23
π
.A 正
确;由圆锥的内切球球心
O1
作
⊥
O D PB
1
，垂足为点
D
，设
==
O D O O R
11
，则
=−
PO R
1
1
,由
= = =
PB PO
OPB OB OD
2
sin 3
1
1
，即
−=
R
R
12
3
，解得
=−R2 3 3
，内切球
O1
的
表面积为
=  − = −Rπ2 3 3 84 48 3π4π422
)()(
，故 B正确；选项 C，
=
OPB 2
sin 3
，
 
OPB 2
0π
，所以
=OPB 60
，则
=
APB 120
，过点
P
作平面
α
截圆锥的截面
面积最大时，对应三角形为等腰直角三角形
==Sl
22
12
，故 C不正确；
选项 D，如图 2，把圆锥的侧面展开一半，点
A
展开到
A
，
=
PM 1
，
==
PA PA 2
，
=
=
l
A PB r
2
π3π
，由余弦定理
 
= + −  = −
A M PA PM PA PM A PB 2
2 cos 5 4cos π3
2 2 2
，
所以从
A
点沿圆锥表面到
M
的最近路线长
=−
AM 2
5 4cos π3
，故 D正确.
12．AC 【解析】在
ABC
中∵
A a Ccsin 3 cos
,
12 题图
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