2024届贵州省贵阳市普通高中高三上学期质量监测 数学答案
数学参考答案与评分建议 第 1 页（共 6页）
贵阳市 2023 年普通高中高三年级质量监测试卷
数学参考答案与评分建议
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
D
B
B
C
C
B
A
AB
BC
ABC
ACD
13.
160
14.
1
2
a=−
15.
6
x
=
(或
57
,
66
xx
= − =
等)
16.
28 2
3
17. 解：（1）∵
1,
2
A B C A B C
+ = + + =
，
∴
2,
33
C A B
= + =
由余弦定理得
2 2 2 2
2 cos 3
c a b ab
= + −
，即
2 2 2
c a b ab= + +
①
∵
2a c b+=
②，由①②得
35
,
77
cc
ab==
，
由正弦定理得
3 2 3 3 3 3
sin sin sin
7 3 7 2 14
a
AC
c
= = = =
.
…………………………………………………5 分
（2）∵
ABC
的面积为
15 3
4
，
∴
1 15 3
sin
24
ab C =
，
即
1 3 5 3 15 3
2 7 7 2 4
cc =
，
∴
7c=
，
{#{QQABRQKAggCIAAJAARhCAwVQCACQkBGACAoGAEAIIAAAgANABCA=}#}
数学参考答案与评分建议 第 2 页（共 6页）
所以
AB
边上的高
5 3 3 15 3
sin 7
7 14 14
h b A= = =
.
…………………………………………………10 分
18.解：（1）在长方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，
2, 1,AB AD E==
是
AB
的中点，
∴
45AED BEC = =
,
∴
180 180 45 45 90DEC AED BEC = − − = − − =
,
即
CE DE⊥
，
在长方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，
1
DD⊥
平面
ABCD
，
CE
平面
ABCD
，
∴
1
CE D D⊥
，
又
11
,,D D DE D D D DE=
平面，
∴
CE ⊥
平面
1
D DE
，又
CE
平面
1
D EC
，所以平面
1
D DE ⊥
平面
1
D EC
.
…………………………………………………6 分
(2) 建立如图的空间直角坐标系
D xyz−
,因 为 在 长 方 体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，
2, 1,AB AD E==
是
AB
的中点，
(3) 所以
1(0,0,1), (1,1, 0), (1, 2, 0), (0, 2, 0)D E B C
，
因此
1
(1, 1,0), ( 1, 1,1), (0,1,0)CE ED EB= − = − − =
，
由(1)知平面
1
D DE
的法向量为
(1, 1,0)CE =−
，
设平面
1
D EB
的法向量为
( , , )x y z=n
,则
10
0
ED
EB
=
=
n
n
,
即
0
0
x y z
y
− − + =
=
,取
1, 0, 1x y z= = =
，所以
(1,0,1)=n
，
因此平面
1
D DE
与平面
1
D EB
夹角的余弦为
D
1
C
1
B
1
A
B
C
D
A
1
E
z
y
x
D
1
C
1
B
1
A
B
C
D
A
1
E
{#{QQABRQKAggCIAAJAARhCAwVQCACQkBGACAoGAEAIIAAAgANABCA=}#}
数学参考答案与评分建议 第 3 页（共 6页）
1 1 ( 1) 0 0 1 1
cos 2
22
CE
CE
+ − +
= = =
n
n
.
…………………………………………………12 分
19. 解:（1）由题意得
1
12n
n
aa −
=
，
1
11
(1 2 ) 2
12
n
n
n
a
S a a
−
= = −
−
，
所以
11
1
12
12n
nn
aa
ba
−
+−
==
，
即
1
1 1 1
2 1 2
nn
a a a
−
− + =
对于所有
*
nN
恒成立,
因此
11
1
2
10
aa
a
=
− + =
，解得
11, 2a
==
，
所以
{}
n
a
的通项公式为
11
1 2 2
nn
n
a−−
= =
.
…………………………………………………6 分
（2）由（1）知
1
2
log 2 1
n
n
cn
−
= = −
，
1
1
2
n
n
n
cn
a−
−
=
，
0 1 2 2 1
0 1 2 2 1
...
2 2 2 2 2
nnn
nn
T−−
−−
= + + + + +
①
1 2 3 1
1 0 1 2 2 1
...
2 2 2 2 2 2
nnn
nn
T−
−−
= + + + + +
②
①
−
②得
1 2 1
1 1 1 1 1
...
2 2 2 2 2
nnn
n
T−
−
= + + + −
1
11
[1 ( ) ] 11
22 1
122
12
n
nn
nn
−
−−+
= − = −
−
所以
1
1
22
nn
n
T−
+
=−
.
…………………………………………………12 分
20.解：(1)设
i
A=
“从第
i
个盒子中取到红球”，则
1
1
21
( ) , ( )
33
P A P A==
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P A A P A A P A P A A P A P A A= + = +
9
5
3
1
3
1
3
2
3
2=+=
；
…………………………………………………4 分
（2）∵
1
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
n
n n n n n n n n n n
P A P A A P A A P A P A A P A P A A −
− − − − −
= + = +
1 1 1
2 1 1 1
( ) [1 ( )] ( )
3 3 3 3
n n n
P A P A P A
− − −
= + − = +
{#{QQABRQKAggCIAAJAARhCAwVQCACQkBGACAoGAEAIIAAAgANABCA=}#}
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