广西桂林市、河池市、防城港市2022-2023学年高三下学期联合调研考试理科数学答案

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理科数学试卷参考答案第页（共 4页）

2023年3月高中毕业班联合调研考试

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题:（每小题 5分，共 60 分）

1.C 2.A 3.C 4.C 5.C 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D 11.B 12.A

二、填空题:（每小题 5分，共 20 分）

13.1 14.-2 15.3

716.① ②

三、解答与证明题:（共 70 分）

17.解：（1）因为 cos C=3

5> 0，所以 C∈ ( 0, π

2)，且 sin C= 1 - cos2C=4

5，……………… 2分

由正弦定理可得： a

sin A=c

sin C，

即有 sin A=asin C

c=a

csin C=5

4×4

5=5

5；………………………………………… 5分

（2）因为 4a= 5 c⇒a=5

4c<c，

所以 A<C，故 A∈ ( 0, π

2)，

又因为 sin A=5

5，所以 cos A=2 5

5，…………………………………………………… 7分

所以 sin B= sin [ π- ( A+C) ] = sin( A+C) = sin Acos C+ cos Asin C=11 5

25 ；

由正弦定理可得： a

sin A=c

sin C=b

sin B= 5 5，

所以 a= 5 5 sin A= 5，…………………………………………………………………… 10 分

所以 S△ABC =1

2ab sin C=1

2×5×11×4

5= 22．………………………………………… 12 分

18.解：（1）

……………………………………………… 3分

作图步骤

①连接 AP 并延长交 BC 于点 E

②连接 C1E交CB1于点 F，连接 AC1，AF

③连接 C1P交AF 于点 M

④点M即为所求 …………………………………………………………………………… 5分

（注：作图和步骤中没有连接 AC1不扣分，如果只连接 C1P交面 ACB1于点 M则只给 1分）

（2）连结 BC1，交 B1C于点 O，连结 AO，

∵侧面 BB1C1C为菱形，

∴OB ⊥OB1，且 O为B1C的中点，

又∵AC =AB1，∴AO ⊥B1C，

∵面ACB1⊥面BB1C1C，

AO ⊂面ACB1，

面ACB1⋂面BB1C1C=B1C∴AO ⊥面BB1C1C

又OB1,OB ⊂面BB1C1C，

∴OA ⊥OB1，

OA ⊥OB，

∴OA，

OB，

OB1两两垂直，………………………………………………………………… 7分

理科数学试卷参考答案第页（共 4页）

以O为坐标原点，

 

OB 的方向为 x轴的正方向，

 

OB | 为单位长度，

  

OB1的方向为 y轴的正方向，

 

OA 的方向为 z轴的正方向建立空间直角坐标系，

………… 8分

∵ ∠CBB1= 60°，

∴ △CBB1为正三角形，又 AC ⊥AB1，

AC =AB1

∴ ∆ACB1为等腰直角三角形 ∴OA =OB1

∴A( 0,0, 3

3)，

B(1,0,0 )，

B1( 0, 3

3,0 )，

C( 0, - 3

3,0 )，

∴  

AB1= ( 0, 3

3, - 3

3)，

  

A1B1= 

AB = (1,0, - 3

3)，

  

B1C1= 

BC = ( -1, - 3

3,0 )，……………………………………………………………… 9分

设向量



n= ( x,y,z)是平面 AA1B1的法向量，

则



n⋅  

AB1=3

3y-3

3z= 0



n⋅  

A1B1=x-3

3z= 0

，可取



n= (1, 3 , 3 )，

同理可得平面 A1B1C1的一个法向量 

m= (1, - 3 , 3 )，

……………………………… 11 分

∴ cos < 

m，



n>=



m⋅





m ||



n | =1

7，

∴由图可知，二面角A-A1B1-C1的平面角是锐角，即二面角A-A1B1-C1的余弦值为 1

7.…… 12 分

19.解：（1）由题意知：x

-= 45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.15 + 95 × 0.1 =

70.5，

∴ 4000名考生的竞赛平均成绩 x

-为70.5.……………………………………………… 3分

（2）依题意 z服从正态分布 N(μ,σ2)，其中 μ=x

-= 70.5，

σ2= 204.75，

σ= 14.31，

∴z服从正态分布 N(μ,σ2) = N( 70.5,14.312)，

…………………………………………… 5分

而P(μ-σ<z<μ+σ) = P( 56.19 < z< 84.81) = 0.6826，

∴P(z≥ 84.81) = 1 - 0.6826

2= 0.1587．……………………………………………… 7分

∴竞赛成绩超过 84.81 的人数估计为 0.1587 × 4000 = 634.8 人≈ 634 人． …………… 8分

（3）由样本估计总体可知竞赛考生成绩不超过 84.81的概率为 1 - 0.1587 = 0.8413．

而ξ~B ( 4,0.8413 )，

………………………………………………………………………… 10 分

∴P(ξ≤ 3 ) = 1 - P(ξ= 4 ) = 1 - C4

4⋅ 0.84134= 1 - 0.501 = 0.499.………………… 12 分

20.解：（1）由已知得 F(1,0 )，故 c= 1，

由|AF| =|FN| 得，

a+ 1 = 4 - 1，得 a= 2，

又因 a2=b2+c2，所以 b= 3，…………………………………………………………… 3分

所以椭圆 C的标准方程 x2

4+y2

3= 1；

……………………………………………………… 4分

（2）∠MFN = 2∠PFN 恒成立

理由：由( 1 ) A( -2,0 )，则设直线 AM 的方程为 x=my - 2，

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