广西桂林市、崇左市2023届高三联合模拟考试理数答案

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理科数学试卷参考答案第页（共 4页）

2023年4月高中毕业班第三次联合调研考试

数学（理科）参考答案及评分标准

1~12：

AACB BDCC CAC A

13.- 4 14.2

315.形如 1 -ax( 0 < a< 1) 的函数均可（其它符合题意的函数也可） 16.3

17.解：方案一：选择条件 ①

（Ⅰ）由题意，当 n= 1 时，a1=1=S1= 12+p，解得 p= 0，则 Sn=n2，n∈N*．………… 2 分

当n≥2时，由 Sn=n2，得 Sn- 1 = ( n- 1 )2，

∴an=Sn-Sn- 1 =n2- ( n- 1)2= 2n- 1( n≥ 2 )，………………………………… 4 分

经检验，

a1= 1 符合上式，

∴an= 2n- 1 (n∈N*)……………………………………………………………… 6 分

（Ⅱ）依题意，由 a1，an，am成等比数列，可得a2

n=a1am，

即( 2n- 1 )2= 1 × ( 2m- 1 )，………………………………………………………… 8 分

化简，得 m= 2n2- 2n+ 1 = 2( n-1

2)2+1

2，…………………………………… 10 分

∵m，n是大于 1的正整数，且 m>n，

∴当n= 2 时，m有最小值 5．……………………………………………………… 12 分

方案二：选择条件②

（Ⅰ）依题意，由 an=an+ 1 - 3，可得 an+ 1 -an= 3，……………………………………… 2 分

故数列{an}是以 1为首项，3为公差的等差数列，…………………………………… 4 分

∴an=a1+ ( n- 1) d= 3n- 2 (n∈N*)．………………………………………… 6 分

（Ⅱ）依题意，由 a1，an，am成等比数列，可得a2

n=a1am，

即( 3n- 2 )2= 1 × ( 3m- 2 )，………………………………………………………… 8 分

化简，得 m= 3n2- 4n+ 2 = 3( n-2

3)2+2

3，…………………………………… 10 分

∵m，n是大于 1的正整数，且 m>n，

∴当n= 2 时，m取到最小值 6． …………………………………………………… 12 分

方案三：选择条件③

（Ⅰ）依题意，由 2an+ 1 =an+an+ 2，可得 an+ 1 -an=an+ 2 -an+ 1，

故数列{an}是等差数列，……………………………………………………………… 2 分

又∵a1= 1，a6=a1+ 5d= 1 + 5d= 11，即 d= 2，………………………………… 4 分

∴an=a1+ ( n- 1) d= 2n- 1( n∈N*)．…………………………………………… 6 分

（Ⅱ）依题意，由 a1，an，am成等比数列，可得a2

n=a1am，

即( 2n- 1 )2= 1 × ( 2m- 1 )，………………………………………………………… 8 分

化简，得 m= 2n2- 2n+ 1 = 2( n-1

2)2+1

2，

……………………………………… 10 分

∵m，n是大于 1的正整数，且 m>n，

∴当n= 2 时，m有最小值 5．……………………………………………………… 12 分

理科数学试卷参考答案第页（共 4页）

18.解：（Ⅰ）连接 BD，设 BD 的中点为 O，连接 OA，

OP．……………………………………… 1 分

因为 AB =AD，所以 OA ⊥BD，因为 PB =PD，所以 OP ⊥BD，………………… 3 分

又OA ∩OP =O，

OA ⊂平面 OAP，

OP ⊂平面 OAP，

所以 BD ⊥平面 OAP，…………………………… 4 分

因为 PA ⊂平面 OAP，所以 BD ⊥PA；…………… 5 分

（Ⅱ）因为 ∠BAD = 90∘，所以 OA =OB，又 PA =PB，

所以 △POA ≌ △POB，所以 OP ⊥OA，

又OA ∩BD =O，

OA ⊂平面 ABCD，

BD ⊂平面 ABCD，

所以 OP ⊥平面 ABCD．………………………………………………………… 7 分

如图，以 O为原点，

OB，

OP 所在直线分别为 x轴、

z轴建立空间直角坐标系，…8 分

则A( 0, - 1,0 )，

B(1,0,0 )，

C( -1,2,0 )，

D( -1,0,0 )，P( 0,0, 3 )，

所以  

DC = ( 0,2,0 )，

 

DP = ( 1,0, 3 ) ，

……………………………………………… 9 分

 

BC = ( -2,2,0 )，设平面 PCD 的一个法向量为 n

= ( x0,y0,z0)，

所以 ì



n⋅ 

DC = 0,



n⋅ 

DP = 0,，即 ì

2y0= 0,

x0+ 3 z0= 0, 取x0= 3，则



n= ( 3 ,0, - 1 )，

……… 10 分

设 

BC 与平面 PCD 所成的角为 α，则 sinα=|cos <  

BC，



n>|=|-2 3

8 ⋅ 4 |=6

则直线BC 与平面 PCD 的夹角余弦值为 10

4．……………………………… 12 分

19.解：（Ⅰ）选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①

的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报

精度高． ………………………………………………………………………… 3 分

（ Ⅱ ）（

）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为

-=1

5( 7 × 6 - 6 ) = 7.2，y

-=1

5( 30 × 6 - 31.8 ) = 29.64；…………………… 5 分

∑i= 1

5xiyi- 5 x

-y

-= 1464.24 - 6 × 31.8 - 5 × 7.2 × 29.64 = 206.4，

∑i= 1

5x2

i- 5 x

-2

= 364 - 62- 5 × 7.22= 68.8．………………………………… 7 分

∴



b=206.4

68.8 = 3，



a=y



b x

-= 29.64 - 3 × 7.2 = 8.04．

∴所选模型的回归方程为



y= 3x+ 8.04；………………………………… 10 分

（ⅱ）若广告投入量 x= 18 时，该模型收益的预报值是 3 × 18 + 8.04 = 62.04 万元．

………………………………………………………………………………… 12 分

20.解：（Ⅰ）由题意，笔尖到点 F的距离与它到直线 a的距离相等，可知笔尖留下的轨迹为以 F

为焦点，

a为准线的抛物线，设其方程为y2= 2px (p> 0 )，……………………… 2 分

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