2023届广西壮族自治区柳州市高三第三次模拟考试 理科数学答案

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1
柳州市2023届高三第三次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．
1
3
14．
2 21
15．
465
16．
7
13
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解：（1）设质量指标值的平均数为
，中位数为，则
55 0.15 65 0.25 75 0.3 85 0.2 95 0.1 73.5x      
....................................................3分
0.4 ( 70) 0.03 0.5a 
，
73.3a
.............................................................................................. 6分
（2）样本中质量指标在
的产品有40×10×0.015=6件，质量指标在
]100,90[
的有40×10
×0.01=4件，
可能的取值为0，1，2，..........................................................................................7分
相应的概率为：
15
2
45
6
)0( 2
10
2
4C
C
P
，.............................................................................................................. 8分
15
8
45
24
)1( 2
10
1
6
1
4CCC
P
，........................................................................................................... 9分
3
1
45
15
)2( 2
10
2
6C
C
P
，.............................................................................................................. 10分
随机变量
的分布列为
0
1
2
P
15
2
15
8
3
1
................................................................................................................................................................11分
期望
.
5
6
3
1
2
15
8
1
15
2
0)(
E
.......................................................................................... 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
C
C
C
B
A
C
D
A
B
2
18．解：（1）∵
, 1, 3AB BC BC AB  
，
由勾股定理得：
2 2 2 2
1 ( 3) 2AC AB BC  
，
3
ACB
 
........................................1分
△ACD 中，由余弦定理：
2221
2cos 4 16 2 2 4 12
3 2
C答案C A答案 C AD
  
......2 分
∵
2 2 2
4 12 16
AC C答案 D
 
，∴
DC AC
.............................................................................3分
又因为
PA
底面
ABCD
，
DC
底面
ABCD
，所以
PA DC
.................................................4分
又因为
AC PA A
，∴
DC PAC平面
......................................................................................... 5分
DC
底面
PCD
∴
PDC PAC平面 平面
.................................................................................... 6分
（2）作
AH PC
，垂直为H，连结DH.......................................................................................... 7分
因为
PDC PAC平面 平面
,且
PDC PAC PC平面 平面
所以
AH PCD平面
............................................................................................................................ 8分
所以
ADH
为AD 与平面PCD 所成的角.......................................................................................... 9 分
△PAC 中，
4 2 4
2 5 5
PA AC
AH PC
 
 
...........................................................................................10分
4 1 5
sin 4 5
5
AH
ADH 答案
 
.......................................................................................................11分
所以直线AD 与平面PCD 所成角的余弦值为 
............................................................................12分
另解：（1）因为
,AD BC AB BC∥
，所以
AB AD
，且
PA
底面
ABCD
，
,AB AD
底面
ABCD
，
所以
,PA AB PA AD 
,所以以
,,
AB A答案P
  
方向分别为
, ,x y z
轴建系如图，...........................1分
则 ..
(0,0,0), ( 3,0,0), ( 3,1,0), (0,4,0), (0,0,4),A B C D P
................................................ 2分
设平面
PCD
的一个法向量为
( , , )m x y z
，
( 3, 1,4), ( 3,3,0),CP CD   
 
(0,0,4),AP
所以
3 4 0
3 3 0
CP m x y z
CD m x y
 
 
，令
3x
，则
1, 1y z 
，所以
( 3,1,1)m
，...........4分
设平面
PAC
的一个法向量为
( , , )n a b c
，
所以
3 4 0
4 0
CP n a b c
AP n c
 
 
，令
1a
，则
3, 0b c 
，所以
(1, 3,0)n 
，.......6分
所以
3 3 0m n 
 
，所以平面
PCD
平面
PAC
................................................................ 7分
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