广东实验中学2022-2023学年高二下学期期中考试 数学(答案)(含评分标准)

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第1页（共6页）
广东实验中学 2022—2023 学年（下）高二级期中考试（数学）
答案及说明
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
C
B
C
D
B
A
BCD
AC
ACD
ABD
13.432 14.
 
5,5−
15.
3
28
16.
15
3
17.解：（1）由题意可得：
( ) ( )
2 2 cos cos sin sin 2 2cos 2 2cos 2 2A B A B A B C= − − = − + = + = +
……………………………….3 分
可得
2
cos 2
C=
，∵
( )
0,πC
， ∴
π
4
C=
.……………………………….5 分
（2）∵
ABC
的面积
1 1 2
sin 4 6
2 2 2
S ab C a= =   =
，∴
32a=
，……………………………….7 分
∴
10
2
2
42321618
2=−+=c
……………………………….8 分
∵
2 2 2 18 10 16 5
cos 0
25
2 3 2 10
a c b
Bac
+ − + −
= = = 

，即
π
0, 2
B


， ……………………………….9 分
则
225
sin 1 cos 5
BB= − =
， ………………………………10 分
18. （1）证明：等腰梯形
ABCD
中，
2AB =
，
1BC CD AD= = =
，延长
ADBC,
交于
E
，
则
22 == EDEA
，
22 == ECEB
∴
EAB
为等边三角形 ……………………………….2 分
∴
BCAC ⊥
，且
1
AABC ⊥
，
AAAAC =
1
∴
11 ACCABC 面⊥
， ……………………………….3 分
BC
平面
ABCD
，则平面
ABCD ⊥
平面
11
A ACC
， ……………………………….4 分
（2）以
C
为坐标原点，
CA
为
x
轴正半轴，
CB
为
y
轴正半轴，过
C
作
1
//OACN
交
11CA
于
N
CN
为
z
轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系
C xyz−
，则 ……………………………….5 分
( )
3,0,0A
，
( )
0,1,0B
，
3,0,0
2
O



，
131
,0,
22
A



，
1 3 1
, ,0
2 2 2
CD BA 
= = −



第2页（共6页）
11
33
, ,0
22
B D BD 
= = −



，
11
31
,0,
22
DD AA 
= = −



，
1
11
0, ,
22
D
−


则
−== 0,
2
3
2
3
111
，BDMD
，
3 1 3 1
,,
2 2 2 2
M


− − +



设平面
MBC
的法向量为
( )
,,n x y z=
=
=+
−−
=
=
0
0
2
1
2
3
2
1
2
3
0
0
y
zy
CBn
CMn
，取
1x=
，则
( )
1,0, 3n
=−
………………………….8 分
取平面
ABCD
的法向量
( )
0,0,1m=
2
21
cos , 4 1
7
mn
mn mn
= =  =
，则
1
2
=
即：
1
3 3 1
, ,0
44
AM 
=−



，
3
1,0, 2
n
=−



……………………………….10 分
设直线
1
AM
与平面
MBC
所成的角为
，则
1
1
1
3
sin cos , 3
7
A M n
A M n A M n
= = =
所以，直线
1
AM
与平面
MBC
所成的角正弦值为
33
7
. ……………………………….12 分
19. 解：（1）∵f（x）ax2+（1﹣2a）x﹣2lnx，x＞0，
∴f′（x） ， ……………………………….2 分
当
3
1
−=a
时，令
( )
0=
xf
，解得
2
1=x
，
3
2=x
……………………………….3 分
x
( )
2,0
2
( )
3,2
3
( )
+，3
( )
xf
−
0
+
0
−
( )
xf
减
极小值
增
极大值
减
……………………………….5 分
∴
( ) ( )
2ln2
3
8
2−== fxf 极小
，
( ) ( )
3ln2
2
7
3−== fxf 极大
……………………………….6 分
（2）①当a≥0时，令 f′（x）＜0，得 0＜x＜2；令 f′（x）＞0，得 x＞2；……………………….7 分
第3页（共6页）
②当a＜0时，令 f′（x）＝0，得 x或x＝2；
（I）当 2时，即 a时，则 f′（x）≤0恒成立且只有一个点令
( )
0=
xf
；…………….8 分
（II）当 2，即 时，令 f′（x）＜0，得 0＜x＜2或x；
令f′（ x）＞0，得 2＜x； ………………………….10 分
综上所述：当 a≥0时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增；
当 时，f（x）在（0，2）和（ ，+∞）上递减，在（2， ）上递增；
当a时，f（x）在（0，+∞）上递减； …………………………….12 分
20. 解：（1）有题条件可得
2
3
23
1
1
−=
−
=
+nn
n
naa
a
a
……………………………….2 分
∴
−=−
+
1
1
31
1
1nn aa
∴
−1
1
n
a
是首项为 3，公比为 3的等比数列 ……………………………….3 分
∴
n
n
a31
1=−
，则
13
1
+
=n
n
a
……………………………….5分
（2）
nn
n
nn
b3
13
13
13 +
+
+
=
……………………………….7分
设
n
n
n
c3
13 +
=
，
nn cccT +++=
21
∴
n
n
n
T3
13
3
123
3
113
2
+
++
+
+
+
=
132 3
13
3
23
3
123
3
113
3
1
+
+
+
−
++
+
+
+
=nn
n
nn
T
∴
1
1
212 3
13
3
1
1
3
1
1
3
1
3
3
4
3
13
3
1
3
1
3
3
4
3
2
+
−
+
+
−
−
−
+=
+
−
+++= n
n
nn
n
nn
T
1
1
1
1
3
13
3
1
2
1
6
11
3
13
3
1
2
1
2
1
3
4
+
−
+
−+
−
−=
+
−
−+= n
n
n
nnn
…………………………….10 分
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