甘肃省兰州市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题答案

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兰州一中 2022-2023-2 学期期中考试高二数学参考答案
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
二、多项选择题（共 20 分,全部选对得 5分，有漏选得 3分，有错选得 0分）
三、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）
13． 14． 15． 16．
四．简答题
17．【详解】（1）设 ，则 是 的中点，连接 ，由于 是
的中点，所以 ， ，由于 平面 ，所以 平面
，所以 .
（2）依题意可知 两两相互垂直，以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，故可设 ，设直线 与平面 所成角为 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B C B D A
题号 9 10 11 12
答案 BC AC BCD CD
则.
18．【详解】（1）定义域为 ，
令 ，解得 或
－13
+ 0 －0 +
单调递增 单调递减 －8单调递增
∴时， 有极大值 ， 时， 有极小值－8．
（2）设切点为 ，斜率为 ，∴切线方程为
，又∵过点 ∴
∴ ∴ 或 ∴切点为
或 ，切线方程为 或
19．【详解】（1）由题意， 两两互相垂直，以 O为坐标原点，射线
OB、OC、OP 分别为 x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，
菱形 中， ，所以 ,
在 中 ，
因为 底面 ABCD ，所以 PB 与底面 ABCD 所成的角
为 ，所以 ，
则点 A、B、D、P的坐标分别是 ，
E是PB 的中点，则 ，于是 ， .
设 的夹角为 θ，则有 .∴异面直线 DE 与PA 所成角的
余弦值为
√
2
4
.
（2）连接 ， 分别是 的中点， ， 平面 PAD，
平面 PAD， 平面 PAD.因为 ， ,设平面 PAD 的法向
量 ，则 ，令 ，则 ，所以
，又 ，则点 E到平面 PAD 的距离
.
20．(1) ，定义域为 ；
(2)当 时，圆柱形罐子的体积 V最大，最大体积是
【详解】（1）在 中，
因为 ，所以 ，
设圆柱的底面半径为 r，则 ，即 ，
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