甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理科）试卷答案及解析

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兰州市五十中 2022-2023 学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）

考试时间：120 分钟；总分 150 分

题号一二三总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷（选择题）

一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合 A＝{x∈R|log2(2－x)<2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则 A∩B真子集的个数(　B

)

A．8　　 B．7　　

C．4　　 D．6

[解析]　由题 log2(2－x)<2，则 0<2－x<4，得－2<x<2，即 A＝(－2，2)，A∩B＝{－

1，0，1}，则 A∩B真子集的个数为 23－1＝7.

2设i是虚数单位，若复数 z＝1＋2i，则复数 z的模为(　D　)

A．1　　 B．2　　

C．　　 D．

[解析]　依题意，|z|＝＝，故选 D.

3．下列命题中是假命题的是(　C　)

A．∃x∈R，log2x＝0　　 B．∃x∈R，cos x＝1

C．∀x∈R，x2>0　　 D．∀x∈R，2x>0

[解析]　因为 log21＝0，cos 0＝1，所以 A、B均为真命题，02＝0，C为假命题，

2x>0，选项 D为真命题．

4已知 α为第二象限角，则＋的值是(　B　)

A．－1　　 B．1　　

C．－3　　 D．3

[解析]　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，

∴＋＝＋＝＋＝1.选B.

5．总体由编号为 01,02，…，49,50 的50 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6个个体，

选取方法是从随机数表第 6行的第 9列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则

选出的第 4个个体的编号为(　B　)

附：第 6行至第 9行的随机数表

2 748　6 198　7 164　4 148　7 086　2 888　8 519　1 620

7 477　0 111　1 630　2 404　2 979　7 991　9 683　5 125

3 211　4 919　7 306　4 916　7 677　8 733　9 974　6 732

2 635　7 900　3 370　9 160　1 620　3 882　7 757　4 950

A．3　　 B．19　　

C．38　　 D．20

[解析]　按题中方法选出的 6个个体编号分别为 41,48,28,19,16,20，故选 B.

6．已知非零单位向量 a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则 a与b－a的夹角为(　D　)

A．　　 B．

C.　　 D．

[解析]　解法一：设 a与b－a的夹角为 θ.

因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，

即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，

所以 a·b＝0.

因为 a，b为非零单位向量，

所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝.

因为 a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cos θ，

所以 cos θ＝＝－，因为 θ∈[0，π]，

所以 θ＝.

解法二：几何法，如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以 a，b为邻边(共起点)的菱形两对

角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出 b－a知所求为.

解法三：坐标法，由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又 a，b为单位向量，则在平面直角坐

标系中取 a＝(1，0)，b＝(0，1)，则 b－a＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知 a与b－a

的夹角为.

7．若存在 x∈R，使 ax2＋2x＋a<0，则实数 a的取值范围是(　A　)

A．(－∞，1)　　 B．(－∞，1]

C．(－1，1)　　 D．(－1，1]

[解析]　“存在 x∈R，使 ax2＋2x＋a<0”的否定为“对任意 x∈R，都有 ax2＋2x＋

a≥0”，下面先求对任意 x∈R，都有 ax2＋2x＋a≥0恒成立时 a的范围．

①当a＝0时，该不等式可化为 2x≥0，即 x≥0，显然不合题意；

②当a≠0时，有解得 a≥1.

综合①②得 a的范围为[1，＋∞)，所以存在 x∈R，使 ax2＋2x＋a<0的a的取值范围

为(－∞，1)．

8．已知数列{an}满足 a1＝1，且对任意的 n∈N*都有 an＋1＝a1＋an＋n，则的前 100 项和

为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　∵an＋1＝a1＋an＋n，a1＝1，∴an＋1－an＝1＋n.

∴an－an－1＝n(n≥2)．

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.

∴＝＝2.

∴的前 100 项和为 2

＝2＝.故选 D.

9.一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为(　D　)

A．12　　 B．8　　

C．6　　 D．4

[解析]　由三视图可知几何体为三棱锥，如图，故其体积 V＝××2×3×4＝4.故选 D.

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