甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试卷 含答案

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兰州市五十七中 2022-2023 学年度第一次模拟考试数学试卷（文科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1． 已知全集
U
＝R，集合
M
＝{
x
|－3<
x
<1}，
N
＝{
x
||
x
|≤1}，则阴影部分表示的集合是(　　)
A．[－1,1] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) D．(－3，－1)
2．如果复数是纯虚数，那么实数 m等于(　　)
A．－1 B．0 C．0或1 D．0或－1
3.设a，b∈R，则“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体
称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，
迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了
一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出的，按照如
下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当 n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为(　　)
n＝1　　　 　n＝2　　　　n＝3
A．81 B．121 C．364 D．1 093
5．下列函数既是奇函数又是增函数的是(　　)
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x|x|
6.如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝2AD＝2DC，E为BC 边上一点，BC＝3EC，F为AE 的中点，则
BF＝(　　)
A．AB－AD B．－AB＋AD C．－AB＋AD D．AB－AD
7.已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数 k的值为(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起
到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿
问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长
儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第 n个儿子的年龄为an，则 a1＝(　　)
A．23 B．32 C．35 D．38
9.已知 ω＞0，函数 f (x)＝sin 在上单调递减，则 ω的取值范围是(　　)
A．(0,2] B．
C． D．
10.袋中共有完全相同的4只小球,编号为 1,2,3,4,现从中任取 2只小球,则取出的 2只球编号之和是奇数的概
率为(
　　
)
A.
2
5
B.
3
5
C.
1
3
D.
2
3
11.已知椭圆
x2
4+y2
2
=1的焦点为 F,短轴端点为 P,若直线PF 与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则圆O的半径为(
)
A.
❑
√
2
2
B.1 C.
❑
√
2
D.2
12.已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-ex>0的解集是(
　　
)
A.(-∞,ln 2) B.(ln 2,+∞) C.(0,e2) D.(e2,+∞)
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4的值为 ．
14．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术”．执行该程序框
图，若输入的a，b分别为176,320，则输出的 a为 ．
15.若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为 1，则这个
椭圆的方程为 ．
16．在钝角△ABC 中 ，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos A＝bsin A，则 sin A＋sin
C的最大值为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(12 分)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC 的外接圆直径；
(2)求a＋c的取值范围．
18.(12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,∠ABC=90°,且PB=PC.
(1)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD;
(2)求点 D到平面 PBC 的距离.
19(12 分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表 1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底
余额)，
年份x201
32014 201
52016 2017
储蓄存款 y(千亿元)5 6 7 8 10
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012，z＝y－5得到下表 2：
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