甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试卷 含答案

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兰州市五十八中 2022-2023 学年度第一次模拟考试数学试卷（理
科）
考试时间：120 分钟；总分 150 分
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集 U＝{x∈Z|0<x<8}，集合 M＝{2，3，5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合
{1，4，7}为(　 　)
A．M∩(∁UN)　　 B．∁U(M∩N)
C．∁U(M∪N)　　 D．(∁UM)∩N
2． 若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　 　)
A．－　　 B．　　
C．i　　 D．－i
3． 直线 l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2＝0平行，则 a＝(　 　)
A．－1　　 B．2
C．－1或2　　 D．0或1
4． 已知 m，n是直线，α是平面，且 m∥α，则下列结论中正确的是(　 　)
A．∀n⊂α，都有 m∥n B．∃n⊂α，使 m⊥n
C．∀n∥m，都有 n∥α D．∃n⊥α，使 m∥n
5． 等于(　 　)
A．－　　 B．　　
C．　　 D．1
6．关于 x，y的不等式组表示的平面区域的面积为(　 　)
A．3　　 B．　　
C．2　　 D．
7． 已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前 n项和．若 a2a6＝4，且 a4＋2a7
＝，则 S5＝(　 　)
A．29　　 B．30　　
C．31　　 D．32
8． 如图所示，在△ABC 中，点 D在线段 BC 上，且 BD＝3DC.若
AD
＝λ
AB
＋μ
AC
，则＝(
)
A．　　 B．　　
C．2　　 D．
9．已知函数 f(x)＝2sin(πx＋1)，若对于任意的 x∈R，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|
的最小值为(　 　)
A．2　　 B．1　　
C．4　　 D．
10.从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去 2名，则不同
的安排方法共有(　 　)
A．20 种　　 B．50 种　　
C．80 种　　 D．100 种
11． 已知双曲线－＝1(b>0)右焦点为 F1，过 F1且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A，B两
点，抛物线 y2＝－16x的焦点为 F，若△ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围
是(　 　)
A．　　 B．(，＋∞)
C．(1,3)　　 D．
12． 已知 f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足 xf′(x)>0 恒成立，则下列不等式成立的是(
)
A．f(－3)<f(4)<f(－5) B．f(4)<f(－3)>f(－5)
C．f(－5)<f(－3)<f(4) D．f(4)<f(－5)<f(－3)
第 II 卷（非选择题）
二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线
上．）
13．已知直线 y＝x与函数 f(x)＝的图象恰有三个公共点，则实数 m的取值范围是 ．
14． 已知向量 a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量 b在向量 a上的投影为
．
15.袋中装有 3个红球 2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次
数ξ的数学期望为　 .
16．数列{an}的前 n项积为 n2，那么当 n≥2时，an＝ ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．(12 分)第23 届冬季奥运会于2018 年2月9日至2月25 日在韩国平昌举行，期间
正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比
赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间
(单位：小
时)
[0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6]
收看人数14 30 16 28 20 12
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义
为“非体育达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：
男女合计
体育达人 40
非体育达人 30
合计
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取
2名作冬奥会知识讲座，求抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：
P(K2≥k0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2＝.
18．(12 分)在直角梯形ABCD(如图 1)，∠ABC＝90°，BC∥AD，AD＝8，AB＝BC＝4，M
为线段 AD 中点．将△ABC 沿AC 折起，使平面 ABC⊥平面 ACD，得到几何体 B－ACD(如
图2)．
(1)求证：CD⊥平面 ABC；
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