甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试数学（文）试题答案和解析
2023年兰州高三诊断
文科数学参考答案及评分标准
12
1．C 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B11．C 12．B
．【解析】
= − − + − − + − − = − + + + + +f x x a x b x b x c x c x a x a b c x ab bc ca( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2( ) ( )
2
= + + − + + = + + − − − a b c ab bc ca a b c ab bc ca4[( ) 3( )] 4( ) 0
2 2 2 2
由于
a
，
b
，
c
不相等，所以
0
，所以函数必有两个不相同的零点
因为
=a2
1
，
= =
b2 2 2 2 2
sin sin
1 3 1 1
，
==c2
ln 3 ln e 1
所以
c a b
因此
= − − f a a b a c( ) ( )( ) 0
，
= − − f b b c b a( ) ( )( ) 0
，
= − − f c c a c b( ) ( )( ) 0
所以函数的两个零点分别在区间
，ba()
和
，ac()
，故选 A
13．
1
14．
3
15．
30 11
11
或
77
81 77
或
231
160 231
16．②
16．【解析】对于函数①，
++
= = +
+ + +
f x x x
f x T x T T
( ) 2 1 2 1
1
( ) 2 2 1 2
，不是常数，因此①不是“
函数”； 对于函数
②，
==
+
−
+−
fx
f x T
x
T
xT
2
()
( ) 2
1()
2
( ) 1
()
1
32
3
3 3 2
，为常数，因此②是“
函数”； 对于函数③，
=
++
x
fx
f x T x T
()
( ) ( 2 )
3
3
，不是
常数，因此③不是“
函数”； 对于函数④，定义域不为 R，且
−
=
+ + −
f x x
f x T x T
( ) ln( 1)
( ) ln( 1)
，不是常数，因此④
不是“
函数”
17．【解析】 (1)因为数列
an
对任意的
N
i
都有
−=
+
a a i
n i n
，所以当
i=1
时满足
−=
+
aa
nn
1
1
，
所以数列
an
是首项为 1，公差为 1的等差数列，
所以数列
an
的通项公式为
=an
n
． ………………6 分
(2)因为数列
bn
满足：
=
+
+
ba
ba
nn
nn
2
1
且
=b1
1
，
所以
=
b
b
3
1
1
2
，
=
b
b
4
2
2
3
，
=
b
b
5
3
3
4
，...
=−
−
−
bn
n
b
n
n2
2
1
，
+
=−
−
bn
n
b
n
n1
1
1
所以
+
=
−−
−
b b b b n n
nn
bb
bb
n
n3 4 5 1
1 2 3 2 1
1 2 3 1
24
3
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即：
1
2
( 1)
n
b
b n n
=+
，所以
22
( 1)
n
bn
nn
=
+（ ）
．
又因为
1
2
1= 12
b=
符合
2
( 1)nn+
当
1n=
时的值，所以数列
n
b
的通项公式为
2
( 1)
n
bn
nn
=
+（ ）N
．
因为
2 1 1
=2 )
( 1) 1
n
bn n n n
=−
++
（
，所以
1 1 1 1 1 1 2
=2(1 ) 2(1 )
2 2 3 1 1 1
n
n
Sn
n n n n
− + − + + − = − =
+ + + N（ ）
所以数列
n
b
的前
n
项和
2
=1
n
n
Sn
n
+N（ ）
.………………12 分
18．【解析】 (1)方案一：选条件①②．
因为在四棱锥
S ABCD−
中
=SB SC
，点
M
是
BC
的中点，
2SM =
，所以
SM BC⊥
.
又因为在
Rt SBM
中，
5
cos 5
SBM=
，所以
1BM =
．
又因为
ABCD
是矩形，
2=BC AB
，所以
1BM AB==
，
2AM =
,
由
6SA =
，
2AM =
，
2SM =
可得：
2 2 2
SA AM SM=+
，所以
SM AM⊥
．
则由
SM BC
SM AM
AM BC M
⊥
⊥
=
可得：
SM ⊥
底面
ABCD
，又因为
SM
侧面
SBC
，
所以侧面
⊥SBC
底面
ABCD
． ………………6 分
方案二：选条件①③．
因为在四棱锥
S ABCD−
中
=SB SC
，点
M
是
BC
的中点，
2SM =
，所以
SM BC⊥
.
又因为在
SAM
中，
6=SA
，
6
sin 3
SAM=
，
2=SM
，
所以由正弦定理得：
sin sin
SA SM
SMA SAM
=
，即
62
sin 6
3
SMA =
，所以
sin 1SMA=
即
2
SMA
=
，所以
SM MA⊥
．
则由
SM BC
SM AM
AM BC M
⊥
⊥
=
可得：
SM ⊥
底面
ABCD
，又因为
SM
侧面
SBC
，
所以侧面
⊥SBC
底面
ABCD
. ………………6 分
方案三：选条件②③．
因为在四棱锥
S ABCD−
中
=SB SC
，点
M
是
BC
的中点，
2SM =
，所以
SM BC⊥
.
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