甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试 数学参考答案

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兰州一中高三年级期中考试数学试卷 共 4 页
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兰州一中 2023-2024-1 学期期中考试解析
高三数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，
考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上，交卷时只交答题卡。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.若复数 z＝1＋i
1＋ai
为纯虚数，则实数 a的值为( D )
A.1 B.0 C.－1
2D.－1
解析 设z＝bi，b∈R且b≠0，则 1＋i
1＋ai
＝bi，得到 1＋i＝－ab＋bi，
∴1＝－ab，且 1＝b，解得 a＝－1，故选 D.
2.设D为△ABC 所在平面内一点，AD
→＝－1
3AB
→＋4
3AC
→，若BC
→＝λDC
→(λ∈R)，则λ＝( D )
A.2 B.3 C.－2 D.－3
解析：由AD
→＝－1
3AB
→＋4
3AC
→，可得 3AD
→＝－AB
→＋4AC
→，即 4AD
→－4AC
→＝AD
→－AB
→，则 4CD
→＝BD
→，
即BD
→＝－4DC
→，可得BD
→＋DC
→＝－3DC
→，故BC
→＝－3DC
→，则λ＝－3.
3.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a2＋a8＝0，S11＝33，则公差 d的值为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵a2＋a8＝2a5＝0，∴a5＝0，
又S11＝（a1＋a11）×11
2
＝11a6＝33，∴a6＝3，从而公差 d＝a6－a5＝3.
4.函数 f(x)＝1－x2
lg|x|的图象大致为( B )
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兰州一中高三年级期中考试数学试卷 共 4 页
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解析： 1－x2≥0，
|x|≠0且|x|≠1，得－1<x<0 或0<x<1，
所以 f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
又f(x)＝f(－x)，所以函数 f(x)是偶函数，图象关于 y轴对称，排除 A；
当0<x<1 时，lg |x|<0，f(x)<0，排除 C；
当x>0 且x→0时，f(x)→0，排除 D，只有 B项符合.
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2－m1＝5
2lgE1
E2
，
其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太
阳与天狼星的亮度的比值为( A )
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1
解析 (1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得 5
2lg E1
E2
＝－1.45－
(－26.7)＝25.25.所以 lg E1
E2
＝25.25×2
5＝10.1，即E1
E2
＝1010.1.
6.在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若向量 m＝(a，－cos A)，n＝(cos C，2b－
c)，且 m·n＝0，则角 A的大小为( B )
A.π
6B.π
4C.π
3D.π
2
解析 法一 由m·n＝0，得 acos C－cos A( 2b－c)＝0.
由正弦定理得 sin Acos C－cos A( 2sin B－sin C)＝0，即 sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Bcos A，所
以sin(A＋C)＝2sin Bcos A，所以 sin(π－B)＝2sin Bcos A.
从而 sin B＝2sin Bcos A.
因为 0<B<π，所以 sin B≠0，所以 cos A＝2
2，所以 A＝π
4.
法二 由m·n＝0，得 acos C－cos A( 2b－c)＝0，
由余弦定理，得 a·a2＋b2－c2
2ab
－2bcos A＋c·b2＋c2－a2
2bc
＝0，即 2b＝22bcos A.
所以 cos A＝2
2，所以 A＝π
4.
7.若
abba 3
3log1)2(log
，则
ba 2
的最小值为（ C）
A.6 B.8
3
C.3 D.16
3
解析 ∵
abba 3
3log1)2(log
∴log3(2a＋b)＝1＋log3(ab)＝log3(3ab)，∴2a＋b＝3ab，且
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a＞0，b＞0，∴1
a＋2
b＝3，∴a＋2b＝1
3(a＋2b)
1
a＋2
b＝1
3
1＋2b
a＋2a
b＋4＝5
3＋2
3
b
a＋a
b≥5
3＋2
3·2 b
a·a
b
＝3，当且仅当b
a＝a
b且1
a＋2
b＝3即a＝b＝1时，等号成立.∴a＋2b的最小值为 3.
8.已知函数 f(x)＝|ln( x2＋1－x)|，设 a＝f(log34)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则( C )
A.a>b>cB.b>a>c
C.c>a>bD.c>b>a
解析 易知 f(－x)＝|ln( x2＋1＋x)|＝
|ln 1
x2＋1－x|＝|－ln( x2＋1－x)|＝|ln( x2＋1－x)|＝f(x)，
∴f(x)在R上为偶函数，
当x>0 时，f(x)＝|ln( x2＋1－x)|＝|ln( x2＋1＋x)|单调递增，
又31.1>3>log34>1>3－0.2>0，
∴f(－31.1)＝f(31.1)>f(log34)>f(3－0.2)，即 c>a>b.
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.已知函数 f(x)＝sin
)
6
2(
x
，则下列结论正确的是( ABCD)
A.x＝π
3是函数 f(x)图象的一条对称轴；
B.
)0,
12
7
(
是函数 f(x)图象的一个对称中心；
C.将函数 f(x)图象向右平移π
6单位所得图象的解析式为 f(x)＝－cos 2x；
D.函数 f(x)在区间
]
3
,
6
[
内单调递增.
解析 ∵f
π
3＝sin
2π
3－π
6＝1，∴x＝π
3是一条对称轴，A正确.又f
17
12π＝sin
7
6π－π
6＝0，因此 B
正确.对于 C，平移后 y＝sin 2x－π
6－π
6＝sin 2x－π
2＝－cos 2x，C正确.对于 D，当－π
6≤x≤π
3时，
－π
2≤2x－π
6≤π
2，故 f(x)在－π
6，π
3内单调递增，D正确.
10.对于函数 f(x)＝ln x
x，下列说法正确的是( AC )
A. f(x)在x＝e处取得极大值1
e；B. f(x)有两个不同的零点；
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