北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 Word版含答案

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2024 北京四中高一（上）期中
数 学
试卷分为两卷，卷（I）100 分，卷（II）50 分，满分 150 分，考试时间 120 分钟
卷（I）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分
1. 已知集合 ， ，则集合
A. B. C. D.
2. 函数 的定义域是
A. B. C. D.
3. 命题“ ， ”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 如果 ，那么下列不等式中正确的是
A． B． C． D．
5. 下列函数中，在区间 上为减函数的是
A． B. C. D.
6. 函数 的图像关于
A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．点 对称
7. 已知 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 函数 在区间 内的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
9. 下列函数中，满足 的是
A． B． C． D．
10. 两个不同的函数 ， 满足 ， ，则可能的情况是
A． 是一次函数， 是二次函数 B． 在 上递增， 在 上递减
C． ， 都是奇函数 D． 是奇函数， 是偶函数
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分
11．若 ，则实数 x的值为 .
12. 不等式 的解集为 ，则 ， .
13. 函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 ．
14. 函数 ，则 的减区间为 ， 的值域是 .
15. 已知函数 .
① 当 时， 在定义域内单调递减；
② 当 时，一定有 ；
③ 若存在实数 ，使得函数 没有零点，则一定有 ；
④ 若存在实数 ，使得函数 恰有三个零点，则一定有 ；
以上结论中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分
16. （12 分）设集合 ， ， .
（I）求 ；（II）求 ；（III）若 ，求实数 k的取值范围.
17. （11 分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24 时）空气质量指数数据绘制成
散点图，并选择函数 来近似刻画空气质量指数 随时间 变化的规
律（如下图所示）：
（I）求 的值；
（II）当空气质量指数大于 150 时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊
行业施工. 请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：
① 某同学该天 7:00 出发上学，是否应戴防雾霾口罩？
② 当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？
18. （12 分）已知函数 .
（I）判断
f(x)
在 上的单调性，并用定义证明；
（II）若 是偶函数，求
a
的值.
卷（Ⅱ）
一、选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
1. 已知集合 ， ， ，则
A． B．C．D．
2. 当 时， 恒成立，则 的最大值为
A．6 B．10 C．12 D．13
3. 设集合 的最大元素为 ，最小元素为 ，记 的特征值为 ，若集合中只有一
个元素，规定其特征值为 .已知 ， ， ， ， 是集合 的元素个数均不相同的非空
真子集，且 ，则 的最大值为
A．14 B．15 C．16 D．18
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
4. ________.
5. 若二次函数 的图像关于 对称，且 ，则实数 的取值范围是
.
6. 设函数 . 当 时， 的最小值是________；若 是 的最
小值，则 a的取值范围是________.
三、解答题：本大题共 2 小题，共 20 分
7. （10 分）已知函数 .
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