湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月水平检测（12月）数学试题（

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常德市一中 2023 年下学期高二年级第二次月水平检测

数学

（时量：120 分钟满分：150 分命题人：张友泉）

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）

一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若，在直线上，则直线的一个方向向量是（）

A. B. C. D.

2.已知的顶点，，，则边上的高的长等于（）

A.3 B.4 C.5 D.6

3.若数列满足，，，则数列的前项和取最大值时，的值为（

）

A.6 B.7 C.8 D.9

4.设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（）

A. B. C. D.

5.椭圆与椭圆的（）

A.长轴长相等 B.短轴长相等

C.离心率相等 D.焦距相等

6.与圆及圆都外切的圆的圆心在（）

A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上

C.一条抛物线上 D.一个圆上

7.两圆与的公共弦长为（）

A. B. C. D.1

8.抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与 C相交于 M， N两点，则

（）

A.5 B.6 C.7 D.8

二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.

9.正方体中，下列结论正确的是（）

A. B.

C.向量与向量的夹角是 120° D.正方体的体积为

10.数列是等差数列，也是等差数列（）

A.若，则数列也是等差数列

B.若，，为常数，则是等差数列

C.若，则是等差数列

D.若，则可能是等比数列

11.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（）

A. 的最大值为 B. 的最大值为

C. 的最大值为 D. 的最大值为

12.已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于

，两点（点在第一象限）与准线交于点 D，若，则下列结论正确的是（）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）

三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.

13.等轴双曲线的离心率 _________

114.已知是等比数列，若，，则公比 _________.

15.已知等差数列共有项，其中所有奇数项的和为 290，所有偶数项的和为 261，则 _______

16.已知正四面体中，，，则直线和所成角的余弦值为__________.

四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分 10 分）直线过，与 x轴正半轴交于 A点，与 y轴正半轴交于 B点，O为坐标原点.

（1）求面积的最小值；

（2）求横截距与纵截距之和的最小值.

18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，底面满足，，，

底面，且， .

（1）求四棱锥的体积；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

19.（本小题满分 12 分）已知是等差数列的前项和.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设为数列的前项和，若，，求 .

20.（本小题满分 12 分）已知等差数列的前项和为，且，， .

（1）求数列的通项公式；

（2）若，令，求数列的前项和 .

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