黑龙江省大庆铁人中学2023-2024学年高二上学期期中考试 数学

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铁人中学 2022 级高二上学期期中考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、 单选题（每小题只有一个选项正确，共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。）
1.经过点 且与直线 垂直的直线方程是
A． B． C． D．
2．曲线 与曲线 的
A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等
3.向量 且 与 互相垂直，则 的值是
A． B． C． D．
4.已知圆经过点 ，且圆心在直线 上，则圆 的标准方程为
A． B．
C． D．
5.设 是椭圆 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为
A． B． C． D．
6.如图，圆台的高为 4，上下底面半径分别为 3、5，M,N 分别在上、下底面圆周上，
且 ,则 等于
A． B． C． D．
7.已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 则 的离
心率为
A． B． C． D．
8.在直角坐标系中，已知 若直线 上存在点 ，使得 ,
则正实数 的最小值是
A． B． C． D．
二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9.已知双曲线 ，则
A． 的焦点坐标是 B． 的渐近线方程为
C． 的虚轴长为 D． 的离心率为
10.已知 是空间的一组基底，则下列说法中正确的是
A．若 ，则
B． 两两共面，但 不共面
C．一定存在实数 ，使得
D． 一定能构成空间向量的一组基底
11.点 到直线 的距离可能是
A． B． C． D．
12. 卵形线是由法国天文家 引入的.卵形线的定义
是：线上的任何点到两个固定点 的距离的乘积等于常数 是正常数，设 的距离为 ，
当 时称得到的卵形线为双纽线.已知在平面直角坐标系 中，到两定点
距离之积为常数的点的轨迹 是双纽线， 是曲线 上一点，则
A. 曲线 C关于原点 中心对称
B. 的取值范围是
C. 最大值为
D. 曲线 上有且仅有一个点 满足
第Ⅱ卷 非选择题部分
三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.直线 与直线 平行，则
14.过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_________
15.圆 与圆 相交于 两点，则 =______
16.已知抛物线 和圆 ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次
交于点 ，则 的最小值为_______
四、解答题（共 6 小题，共 70 分。）
17.（10 分）直线 过点 ，且倾斜角比直线 的倾斜角大
（1）求直线 的方程
（2）若直线 与直线 平行，且距离为 ，求直线 的方程
18. （12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD⊥平面 ABCD，
，E、F分别是 PC、AD 中点．
（1）求直线 DE 和PF 所成角的余弦值；
（2）求点 E到平面 PBF 的距离．
19．（12 分）已知椭圆 ，点 是椭圆的弦 的中点。
（1）求直线 的方程
（2）求弦 的长度
20. （12 分）已知双曲线 ，的左、右焦点分别为 ，双曲线 的
右顶点 ，且
（1）求双曲线 的方程；
（2）动直线 与双曲线恰有 1 个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，设 为
坐标原点,求证： 的面积为定值
21. （12 分）如图， 平面 ， ， ， ， ，
.
（1）求直线 与平面 所成角 正弦值；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
22. （12 分）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三
角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端
固定在三角板的顶点 处，另一端固定在画板上点 F 处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角
板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下了轨迹 .已知细绳长度为
．经测量，当笔尖运动到点 处时， .设直尺边沿所在直线为 ，
E
F
C
B
A
D
的
2 2
1
: 4 2 1 0C x y x y  
2 2
2
: 2 3 0C x y y  
,A B
AB
的
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