黑龙江省大庆铁人中学2022-2023学年高一下学期期中考试 数学答案

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铁人中学 2022 级高一下学期期中考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分 1 5 0 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单选题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共 40 分）
1．已知角
α
的终边落在直线
y=3x
上，则
sin 2 α
的值为 ( )
A.
4
5
B.
−4
5
C.
−3
5
D.
3
5
D
2. 已知复数
，则复数
z
的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C
3. 如图，
BD
是正方形
ABCD
的对角线，弧
BD
⌢
所在圆的圆心是
A
，
半径为
AB
，正方形
ABCD
以
AB
为轴旋转一周，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
三部分旋转所得旋转体的体积之比 ( )
A.
1 :1:1
B.
1 :2:3
C.
2 :1:2
D.
2 :2:1
A
4. 设非零向量
m
⃗
，
n
⃗
满足
¿m
⃗
∨¿2
，
¿n
⃗
∨¿3
，
¿m
⃗
+n
⃗
∨¿3
√
2
，则
m
⃗
在
n
⃗
方向上的投影向量为（
）
A.
−5
18 n
⃗
B.
5
18 n
⃗
C.
−5
8m
⃗
D.
5
8m
⃗
B
5.给出下列说法：
①
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
②
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③
有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
④ 一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成 7 块
其中正确说法的个数是 ( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
A
6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用
¿
图
1¿.
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理
¿
图
2¿.
假定在水流
量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心
O
到水面
的距离
ℎ
为
1.5 m
，筒车的半径
r
为
2.5 m
，筒车转动的角速度
ω
为
π
12 rad /s
，如图
3
所示，盛水
桶
M¿
视为质点
¿
的初始位置
P0
距水面的距离为
3m
，则
3s
后盛水桶
M
到水面的距离近似为
(
√
2≈1.414 ,
√
3≈1.732)
( )
A.
4.0 m
B.
3.8 m
C.
2.5 m
D.
2 .4 m
A
7.若
sin 10∘=
(
√
3 tan10∘−1
)
⋅sin
(
α − 20∘
)
，则
sin
(
2α+50∘
)
=¿
( )
A.
1
8
B.
−1
8
C.
−7
8
D.
7
8
D
8.在锐角
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
。若 ,则
△ABC
面积
的取值范围是（ ）
A. B. C. D. C
二、多选题（在每小题有多项符合题目要求，漏选得 2 分，错选得 0 分。每小题 5 分，共 20
分）
9.如图所示，
▵A ′ B ′ C ′
是水平放置的
▵ABC
的斜二测直观图，其中
O ′ C ′=O′ A ′=2O′ B ′=2
，则以下说法正确的是 ( )
A.
▵ABC
是钝角三角形
B.
▵ABC
的面积是
▵A ′ B ′ C ′
的面积的
2
倍
C.
▵ABC
是等腰直角三角形
D.
▵ABC
的周长是
4+4
√
2
CD
10.已知
i
是虚数单位，
z
是复数，则下列叙述正确的是 ( )
A.
z⋅z=¿z∨¿2=¿z∨¿2¿¿
B. 若
m∈R
，则
z=m+1+
(
m2−2m−3
)
i
不可能是纯虚数
C. 若
|
z
|
≤1
，则在复平面内
z
对应的点
Z
的集合确定的图形面积为
2π
D.
z=2+3i
是关于
x
的方程
x2−4x+13=0
的一个根 ABD
11.在给出的下列命题中，正确的有( )
A. 设
O , A , B ,C
是同一平面上的四个点，若
OA
⃗
=m⋅OB
⃗
+(1−m)⋅OC
⃗
(m∈R)
，则点
A , B , C
必共线
B. 若向量
⃗
a ,
⃗
b
是平面
α
上的两个向量，则平面
α
上的任一向量
⃗
c
都可以表示为
c
⃗
=λ a
⃗
+μ b
⃗
(μ , λ ∈R)
，且表示方法是唯一的
C. 平面向量
OA
⃗
, OB
⃗
, OC
⃗
满足
OA
⃗
⋅OB
⃗
=OA
⃗
⋅OC
⃗
, AO
⃗
=λ¿
则
ΔABC
为等腰三角形
D. 平面向量
⃗
OA
，
⃗
OB
，
⃗
OC
满足
|
OA
⃗
|
=
|
OB
⃗
|
=
|
OC
⃗
|
=r(r>0)
，且
⃗
OA+
⃗
OB+
⃗
OC=
⃗
0
，则
△ABC
是等边三角形 ACD
12.已知
△ABC
，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，则下列条件一定能够使
△ABC
为等
腰三角形的是 ( )
A.
acos
B=bcos
A
B.
(a❑2+b❑2)sin(A − B)=(a❑2− b❑2)sin(A+B)
C.
cos Bcos C=1−cos A
2
D.
a
sin B+b
sin A≤2c
ACD
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.
ΔABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c .
若
ΔABC
的面积为
a2+b2− c2
4
，则
C=¿
．
π
4
14.已知向量
a
⃗
=(−2,− 1)
，
b
⃗
=( λ , 1)
，则
a
⃗
与
b
⃗
的夹角
θ
为钝角时，
λ
的取值范围为 ．
λ>−1
2
且
λ ≠ 2
15.由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底
边上的高与底面正方形边长的比值为
√
5+1
4
，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱
锥的侧面积之比为_____
1
4
16.在
△ABC
中，已知
AB
⃗
⋅AC
⃗
=9
，
sin B=cos A· sin C
， ，
P
为线段
AB
上的一点，
且
CP
⃗
=x⋅CA
⃗
¿CA
⃗
∨¿+y⋅CB
⃗
¿CB
⃗
∨¿¿
¿
，则
1
x+1
y
的最小值为_______
7
12 +
√
3
3
四、解答题：(共6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本小题 10 分）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，
增加了角度要素而成。而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有
着高度的结合。已知
a
、
b
、
c
分别为
△ABC
内角
A
、
B
、
C
的对边：
（1）请用向量方法证明余弦定理 （证明略）
（2）若 ，其中
D
为
BC
边上的中线，求
A D
的长度.
18.（本小题 12 分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥
A − BCD
是一鳖臑，其中
AB⊥BC
，
AB⊥BD
，
BC ⊥CD
，
AC ⊥CD
，且高
AB=3
√
2
，
BC=
√
2CD=
√
6
．
（1）求三棱锥
A − BCD
的体积和表面积；
（2）求三棱锥
A − BCD
外接球体积和内切球的半径．
解：
(1)
由题设可得
CD=
√
3
，而三棱锥的高为
AB=3
√
2
，
三棱锥
A − BCD
的体积
VA − BCD =1
3⋅S▵DBC ⋅AB=1
3×1
2×
√
6×
√
3×3
√
2=3
，
又
AC=
√
18+6=2
√
6
，三棱锥
A − BCD
的表面积
S=S▵BCD+S▵ABC +S▵ACD+S▵ABD
¿3
√
2
2+3
√
3+3
√
2+9
√
2
2=9
√
2+3
√
3
．
(2) 由条件知，可将三棱锥
A − BCD
补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的
顶点，因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球．即为三棱锥外接球的直径．
因为
AD=3
√
3
，所以三棱锥
A − BCD
外接球体积为
4
3π
(
3
√
3
2
)
3
=27
√
3π
2
．
记内切球的球心为
O
，连结
OA
，
OB
，
OC
，
OD
，得到四个等高的三棱锥，
且该高为内切球的半径
r
，则
VA − BCD =VO − ABD+VO − ACD +VO − ABC +VO − BCD
，
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