黑龙江省大庆铁人中学2022-2023学年高二上学期期末考试 数学 答案

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大庆铁人中学 2021 级高二上学期期末考试
数学答案
一、选择题（60 分）
1.
D
2.
C
3.
A
4.
A
5.
D
6.
D
7.
C
8.
9.
BCD
10.
AC
11.
BC
12.
ABD
二、填空题（20 分）
13.
3
14.
62
15.
❑
√
3+1
16.
¿
三、解答题（70 分）
17. 解：
(1)
等差数列
{an}
的公差
d=2
，
由
a1
，
a2
，
a4
成等比数列，得
a1a4=a2
❑2
，即
a1(a1+3d)=¿
，
即
a1(a1+6)=¿
，解得
a1=2
，
则
an=a1+(n −1)d=2+2(n −1)=2n
．
(2)
由
(1)
得
bn=( 1
2)
an
=( 1
2)
2n
=( 1
4)
n
，
所以数列
{bn}
是首项为
1
4
，公比为
1
4
的等比数列，
则
Sn=(a1+a2+a3+…+an)+(b1+b2+b3+…+bn)= n(2+2n)
2+1
4¿¿
¿n2+n − 1
3×4n+1
3
．
18. 解：
(1)∵C1(0,0)
，
r1=1
，
∵x2+y2−6x+m=0
的标准方程为
¿
，
∴C2(3,0)
，
r2=❑
√
9−m
，
m<9
，
∵
圆
C1
与圆
C2
外切，
∴∨C1C2∨¿r1+r2
，
即
3=1+❑
√
9− m
，
∴m=5
；
(2)
由
(1)
得
m=5
，圆
C2
的方程为
¿
，
C2(3,0)
，
r2=2
，
由题意可得圆心
C2
到直线
x+2y+n=0
的距离
d=¿3+n∨¿
❑
√
5=❑
√
r2
2−3=1¿
，
得
¿n+3∨¿❑
√
5
，即
n=−3+❑
√
5
或
n=−3−❑
√
5
．
19. 解：
(1)
当
n=1
时，
a1=S1=12+1=2;
当
n ≥ 2
时，
an=Sn− Sn −1=n2−1−¿
．
∵a1=2
不满足上式，
∴an=
{
2,n=1,
2n −1, n⩾2.
(2)
由
(1)
可得
b1=4
a1
2−1=4
3
，
当
n ≥ 2
时，
bn=4
¿¿
，
∴Tn=4
3+( 1
1−1
2)+(1
2−1
3)+⋯+( 1
n −2−1
n− 1)+( 1
n −1−1
n)
¿4
3+1
1−1
n
¿7
3−1
n<7
3
，又
Tn<m
恒成立，
∴m≥ 7
3
，
20. 解：
(1)
由题意可知抛物线
C
的准线方程为
x=−p
2
，因为
¿MF∨¿4
，所以根据抛物线的定义
可知
3−(−p
2)=4
，所以
p=2
，所以抛物线
的方程为
y2=4x
．
(2)
设
A(x1, y1)
，
B(x2, y2)
，直线
l:x=ny +m
，联立得
{
x=ny +m ,
y2=4x ,
消去
x
得
y2−4ny − 4m=0
，
所以
y1+y2=4n
，
y1y2=−4m
，所以
x1x2=(n y1+m)(n y2+m)=n2y1y2+mn⋅(y1+y2)+m2
，
由
OA
⃗
⋅OB
⃗
=−4
得
x1x2+y1y2=−4
，所以
n2y1y2+mn(y1+y2)+m2+y1y2=−4
，所以
(n2+1)y1y2+mn(y1+y2)+m2+4=0
，
所以
−4m(n2+1)+4mn2+m2+4=0
，所以
m2−4m+4=0
，所以
m=2
，所以直线
l
的方程为
x=ny +2
，故直线
l
恒过点
(2,0)
．
21. 解：
(1)
在图
1
中取
CE
中点
F
，连接
BF
，
AE
，
∵CE
⃗
=2ED
⃗
，
CD=3
，
AB=2
，
∴CF=1
，
EF=1
，
∵DF=AB=2
，
DF /¿AB
，
∠D=90∘
，
∴
四边形
ABFD
为矩形，
∴BF ⊥CD
，
∴BE=BC=❑
√
3+1=2
，又
CE=2
，
∴△BCE
为等边三角形
;
又
AE=❑
√
3+1=2
，
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