湖北省武汉市华师一附中2024届高三7月暑假数学独立作业（2）答案和解析

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2024 届高三数学独立作业（2）

一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．已知集合

 

0 log 2A x x  

，

 

3 2, R

B y y x   

，则

A B

等于（）

A．

 

2 4x x 

B．

 

1 4x x 

C．

 

1 2x x 

D．

 

1x x 

【答案】A

【详解】由

0 log 2x 

，得

2 2 2 4logl lg go 1 ox 

，解得

1 4x 

，即

{ 1 4}A x x  

，

由

3 0

x

，得

3 2 2

y  

，即

{ 2}B y y 

，所以

{ 2 4}A B x x   

.故选：A.

2. 已知复数 z满足

 

1 i 2z 

，则

z

（）．

A. 1 B.

2 2

D. 2

【答案】D

【详解】由

 

1 i 2z 

，得

 

  

2 1 i

2 2 2i 1 i

1 i 1 i 1 i 1 i

z

    

   

，

所以

1 iz 

，则

 

2 2

1 i 1 2i i 2iz      

，

所以

22i 2z  

.故选：D.

3. 若抛物线

: 2 ( 0)C x py p 

上的点 P到焦点的距离为 8，到

轴的距离为 6，则抛物线

的

标准方程是（）

A．

24x y

B．

26x y

C．

28x y

D．

216x y

【答案】C

【详解】由抛物线定义可得：

6 8

 

，解得

4p

，所以抛物线

的标准方

程为

28x y

.故选：C

4. 把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减（例如：1，3，5，

4，2）的数列的个数是（）．

6 B. 10 C. 14 D. 20

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分最大数 5在第二、三、四个位置三种情况讨论即可

【详解】把 1，2，3，4，5这5个数排成一列，满足先增后减的数列有：

①最大数 5在第二个位置的所有情况：

C 4

②最大数 5在第三个位置的所有情况：

C 6

③最大数 5在第四个位置的所有情况：

C 4

，共有 14 个.故选：C.

5.设甲：

2 2

sin sin 1

 

 

，乙：

sin cos 0

 

 

，则（）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

5．B

【详解】当

2 2

sin sin 1

 

 

时，例如

π, 0

 

 

但

sin cos 0

 

 

，即

2 2

sin sin 1

 

 

推

不出

sin cos 0

 

 

；

当

sin cos 0

 

 

时，

2 2 2 2

sin sin ( cos ) sin 1

   

    

，即

sin cos 0

 

 

能推出

2 2

sin sin 1

 

 

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

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6. 如图，在

ABC

中，M为线段

的中点，G为线段

上一点，

2AG GM

 

，过点 G的

直线分别交直线

，

于P，Q两点，

 

0AB x AP x 

 

，

 

0AC y AQ y 

 

，则

4 1

1x y



的最小值为（）．

C. 3 D. 9

【答案】B

【分析】先利用向量的线性运算得到

3 3

x y

AG AP AQ 

  

，再利用三点共

线的充要条件，得到

3x y 

，再利用基本不等式即可求出结果.

【详解】因为 M为线段

的中点，所以

1( )

AM AB AC 

  

，又因为

2AG GM

 

，所以

2 1 ( )

3 3

AG AM AB AC  

   

，

又

 

0AB x AP x 

 

，

 

0AC y AQ y 

 

，所以

3 3

x y

AG AP AQ 

  

，

又

, ,P G Q

三点共线，所以

3 3

x y

 

，即

3x y 

，

所以

 

4 1 1 4 1 1 4( 1) 1 4( 1) 9

( ) ( 1) 4 1 (5 2 )

1 4 1 4 1 4 1 4

x y x y

x y

x y x y y x y x

 

 

            

 

   

 

，

当且仅当

4( 1)

x y

y x







，即

8 1

3 3

x y 

时取等号.故选：B.

7. 已知异面直线

，

的夹角为



，若过空间中一点

，作与两异面直线夹角均为

的直线可

以作 4条，则



的取值范围是( )

6 4



 



 

，

π π

4 3

 



 

0, 3

 



 

π π

3 2

 



 

【答案】D

【解析】

【

详解】如图，将异面直线 a、b平移到过 P点，此时两相交直线确定

的平面为α，如图，a平移为

a

，即 PA，b平移为

b

，即 BE．

设∠APB=θ，PC





且PC 是∠APB 的角平分线，则 PC 与

a

和

b

的

夹角相等，即 PC 与a、b夹角均相等，

①将直线 PC 绕着 P点向上旋转到 PD，当平面 PCD⊥α时，PD 与

a

、

b

的夹角依然相等，即 PD 与a、b的夹角依然相等；

将直线 PC 绕着 P点向下旋转时也可得到与 a、b的夹角均相等的另外一条直线，

易知 PC 与PA 夹角为



，当 PC 向上或向下旋转的过程中，PC 与PA 夹角增大，则若要存在

与两异面直线夹角均为

的直线，有

π 2π

2 3 3



  

；

②同理，∠APE=





，将∠APE 的角平分线绕着 P向上或向下旋转可得两条直线与 a、b的

夹角均为

，则

π π π

2 3 3



  

，

如此，即可作出 4条直线与异面直线 a、b夹角均为

，

又∵0＜θ≤

，∴





π π

3 2

 



 

．

故答案为：D．

8．将函数

siny x

的图象向右平移

个单位长度，再将横坐标缩短为原来的

1( 0)





得到函数

 

y f x

的图象.若

 

y f x

在

0, 3

 

 

 

上的最大值为



，则



的取值个数为（）

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C. 3 D. 4

【答案】B

【详解】将函数

siny x

的图象向右平移

个单位长度，可得

sin 6

y x

 

 

 

 

的图象．

再将横坐标缩短为原来的

1( 0)





得到函数

( ) sin 6

y f x x



 

  

 

 

的图象，

由

0, 3

x 

 

 

上，得

π π π π

6 6 3 6

 

 

   

 

 

，

当

π π π

3 6 2



 

，即





时，则





，求得





，

当

π π π

3 6 2



 

，即

0 2



 

时，由题意可得

π π

sin 3 6 5



 

 

 

 

，

作出函数

π π

sin 3 6

y x

 

 

 

 

与

y

的图象如图：

由图可知，此时函数

π π

sin 3 6

y x

 

 

 

 

与

y

的图象在

 

0, 2x

上有唯一交点，

则

π π

sin 3 6 5



 

 

 

 

有唯一解，

综上，



的取值个数为 2．

故选：B．

二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．

9．若函数

( ) ( 0)

b c

f x alnx a

x x

   

既有极大值也有极小值，则

(

)

A．

0bc 

B．

0ab 

C．

28 0b ac 

D．

0ac 

【解析】函数定义域为

(0, )

，且

2 3 3

2 2

( ) a b c ax bx c

f x x x x x

 

    

，

由题意，方程

( ) 0f x 

即

22 0ax bx c  

有两个正根，设为

，

则有

1 2 0

x x a

  

，

1 2

x x a



 

，△

28 0b ac  

，

0ab 

，

0ac 

，

20ab ac a bc   

，即

0bc 

．

故选：

．

10．已知集合

 

20, 0x x ax b a   

有且仅有两个子集，则下面正确的是（）

A．

2 2 4a b 

B．

214ab

 

C．若不等式

20x ax b  

的解集为

 

1 2

,x x

，则

1 2 0x x 

D．若不等式

x ax b c+ + <

的解集为

 

1 2

,x x

，且

1 2 4x x 

，则

4c

【答案】ABD

【详解】由于集合

 

20, 0x x ax b a   

有且仅有两个子集，所以

2 2

4 0, 4a b a b    

，

由于

0a

，所以

0b

.公众号：全元高考

A，

 

2 2 2

4 2 4 4a b b b b       

，当

2, 2 2b a 

时等号成立，故 A 正确.

B，

21 1 1

4 2 4 4a b b

b b b

     

，当且仅当

1 1

4 , , 2

b b a

  

时等号成立，故 B 正确.

C，不等式

20x ax b  

的解集为

 

1 2

,x x

，

1 2 0x x b  

，故 C 错误.

D，不等式

x ax b c+ + <

的解集为

 

1 2

,x x

，即不等式

20x ax b c+ + - <

的解集为

 

1 2

,x x

，且

1 2 4x x 

，则

1 2 1 2

,x x a x x b c    

，

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