湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期开学暑期检测数学试题+含答案

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衡阳市八中 2024 届高三暑期检测
数 学 试 题
注意事项：本试卷满分 150 分，时量为 120 分钟
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．若 ，则 （
）
A．B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ ”的 （
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 ，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （
）
A． B． C． D．
5．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则双曲线 的离心
率为 （
）
A． B． C． D．
6．八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形 ，设其边长
为 ，中心为 ，则下列选项中不正确的是 （
）
A．
B．
C． 和 是一对相反向量
D．
7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:
时， .若数列 ，则下列结论:①的函
数图像关于直线 对称；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的是 （
）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
8．已知函数 ，则不等式 的解集是 （
）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
9．根据国家统计局数据显示，我国 2010~2019 年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是
（
）
A．2010~2019 年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B．可以预测 2020 年，我国研究生在校女生人数将不低于 144 万
C．2017 年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D．2019 年我国研究生在校总人数不超过 285 万
10．函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 （
）
A．
B．函数 的零点为
C．函数 图象的对称轴为直线
D．若 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为
11．如图，棱长为 2的正方体 中，点 E，F，G分别是棱 的中点，则（ ）
A．直线 为异面直线
B．
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．过点 B，E，F的平面截正方体的截面面积为 9
12．已知 O为坐标原点， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 P在双曲线右支上，则下
列结论正确的有 （
）
A．若 ，则双曲线的离心率
B．若 是面积为 的正三角形，则
C．若 为双曲线的右顶点， 轴，则
D．若射线 与双曲线的一条渐近线交于点 Q，则
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13．已知展开式 中，所有项的二项式系数之和为 ，则
．（用数字作答）
14．已知 ， 为单位向量，且 在 方向上的投影为 ，则 ．
15．已知抛物线 的焦点为 F，点 在抛物线上，且满足 ，设弦 的中点 M到y轴的距离为
d，则 的最小值为 ．
16．若函数 在区间 上是严格减函数，则实数 的取值范围是 .
四、解答题（本题共 6 个小题，共 70 分）
17．已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
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