内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高三上学期10月期中考试 数学 含解析
内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学 2022-2023 学年高三上学期期中考试
数学试卷
一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 复数
z(2+i)=1− i
，则
z
在复平面内对应的点所在的象限为()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 曲线：
y=lnx
x
在点
P(1,0)
处的切线方程为()
A.
y=x −1
B.
y=2x− 2
C.
y=ex − e
D.
y=− x+1
3. 已知角
α
的终边过点
P(−1,❑
√
3)
，则
sin(3π
2− α)=¿
()
A.
−1
2
B.
❑
√
3
2
C.
1
2
D.
−
❑
√
3
2
4. 已知
sin
(
α+π
6
)
=1
3
，则
sin
(
2α − π
6
)
的值是 ()
A.
−7
9
B.
7
9
C.
2
9
D.
−2
9
5. 已知
sinα+cosα=−
❑
√
5
2
，且
5π
4<α<3π
2
，则
cosα − sinα
的值为 ()
A.
−
❑
√
3
2
B.
❑
√
3
2
C.
−3
4
D.
3
4
6. 在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
若
c=2,sin A=2sin C ,cos B=1
4
，则
△ABC
的面积
S=¿
()
A.
1
B.
2❑
√
15
C.
❑
√
15
D.
❑
√
15
4
7. 已知函数
f(x)=x2+aln x
的图象在
(1, f (1))
处的切线经过坐标原点，则函数
y=f(x)
的最小值为()
A.
1
2−1
2ln 2
B.
1
4+ln2
C.
1
2+1
2ln 2
D.
1
8. 已知
cos α=❑
√
5
5
，
sin(β − α)=−
❑
√
10
10
，
α
，
β
均为锐角，则
sin 2 β=¿
()
A.
1
2
B.
❑
√
2
2
C.
❑
√
3
2
D.
1
9. 如图，在平行四边形
ABCD
中，
M , N
分别为
AB
、
CD
上的点，且
AM
⃗
=4
5AB
⃗
，
AN
⃗
=2
3AD
⃗
，连接
AC
、
MN
交于
P
点，若
AP
⃗
=λ AC
⃗
，则
λ
的值为()
A.
3
5
B.
4
11
C.
3
7
D.
4
13
10. 已知函数
f(x)=Acos(2x+φ)(φ>0)
的图像向右平移
π
8
个单位长度后，得到的图像关于
y
轴对称，
f(0)=1
，当
φ
取得最小值时，函数
f(x)
的解析式为 ()
A.
f(x)=❑
√
2 cos(2x+π
4)
B.
f(x)=cos(2x+π
4)
C.
f(x)=❑
√
2 cos(2x − π
4)
D.
f(x)=cos(2x − π
4)
11. 把函数
f(x)=3 sin(2x+π
6)
的图象向右平移
π
6
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，
得到函数
g(x)
的图象，若
g(x1)=g(x2)−6, x1, x2∈
[
− π , π
]
，则
x1− x2
的最大值为 ()
A.
3π
4
B.
π
C.
7π
4
D.
2π
12. 若函数
f(x)=2cos
(
π
3−2ωx
)
(ω>0)
在区间
(
π
6,π
2
)
内単调递减
.
则
ω
的最大值为 ()
A.
2
3
B.
3
4
C.
4
3
D.
3
2
二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0 分）
13. 已知
tan(π − α )= 1
3
，
α为第二象限角 , cos则2α=¿
。
14.
ΔABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c .
若
ΔABC
的面积为
a2+b2− c2
4
，则
C=¿
．
15. 已知两个单位向量
⃗
e1
，
⃗
e2
，且
¿e1
⃗
+e2
⃗
∨¿1
，则
|
e1
⃗
− e2
⃗
|
=¿
．
16. 如图，在同一个平面内，向量
⃗
OA
，
⃗
OB
，
⃗
OC
的模分别为
1
，
1
，
❑
√
2
，
⃗
OA
与
⃗
OC
的夹角为
α
，且
tan α=7
，
⃗
OB
与
⃗
OC
的夹角为
45∘.
若
OC
⃗
=mOA
⃗
+n OB
⃗
(m , n∈R)
，则
m+n=¿
．
三、解答题（本大题共 6小题，共 70.分。17 题 10 分，18-22 题 12 分）
17. 已知角
α
的终边在直线
y=−1
2x
上，
(1)
求
sin α+cos α
sin α −cos α
的值；
(2)
求
sin2α − sin αcos α −2 cos2α
的值。
18.设向量
⃗
m=(2 cos x , ❑
√
3 sin x)
，
⃗
n=(sin x ,− 2 sin x)
，记
f(x)=
⃗
m·
⃗
n
．
(1)
求函数
f(x)
的单调递减区间；
(2)
求函数
f(x)
在
[−π
3,π
6]
上的值域．
19. 已知
△ABC
的内角
A , B ,C
所对的边分别是
a , b , c
，
b
a=cos B+1
❑
√
3 sin A
．
(1)
求角
B
；
(2)
若
a+c=4
，求
△ABC
周长的最小值，并求出此时
△ABC
的面积．
20.已知函数
f(x)=sinx+sin(x+π
3), x∈[0,3
2π]
．
(1)
求函数
y=f(x)
单调递增区间；
(2)
在
△ABC
中，
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，角
A
满足
f(A)=❑
√
3, a=5, b+c=7
，求
S△ABC
的值。
21.已知函数
f(x)=cos2x −2❑
√
3sinxcosx − sin2x
．
¿
Ⅰ
¿
求函数
f(x)
的最小正周期和最大值；
¿
Ⅱ
¿
问方程
f(x)=2
3
在区间
[−π
6,11 π
6]
上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和．
22.设函数
f(x)=−a2ln x+x2
4+a
2x
，
(1)
试讨论函数
f(x)
的单调性；
(2)
如果
a>0
且关于
x
的方程
f(x)=m
有两个解
x1
，
x2(x1<x2)
，证明：
x1+x2>2a
．
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