2023届内蒙古赤峰市高三4月模拟考试 文科数学答案

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高三文数 第 1 页 共 6 页
赤峰市高三年级 4·20 模拟考试试题
文科数学答案 2023．04
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
D
B
A
C
A
D
B
C
B
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．-2. 14．
11mn+=
. 15．
. 16．
6 2 2+
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（ 12 分）
选择条件①
解：（1）由已知，对任意的
*
,Npq
都有
p q p q
a a a
+=+
，令
,1p n q==
……………1分
则
11
1
2
nn
a a a
+− = =
， ……………………………………………………………………………………………………2分
故数列
 
n
a
为以
11
2
a=
为首项，
1
2
d=
为公差的
..AP
……………………………………………4分
( )
112
n
n
a a n d = + − =
. ………………………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）知
2
n
n
a=
，
( )
1
14
1
n
nn
ba a n n
+
 = = +
……………………………………………………7分
又
( )
4 1 1
4
11
n
bn n n n

 = = −

++

……………………………………………………………………………………9分
12 1 1 1 1 1
41 2 2 3 1
nn
T b b b nn

= + + + = − + − + + −

+

…………………………………………10 分
1
41 1
n
Tn

 = −

+

…………………………………………………………………………………………………………11 分
4
1
n
n
=+
.……………………………………………………………………………………………………………………12 分
选择条件②
解：（1）由已知得，
( ) ( )
1 2 1
01
n
n
a f f f f f
n n n
−
   
= + + + + +
   
   
（1）
高三文数 第 2 页 共 6 页
( ) ( )
1 2 1
10
n
n
a f f f f f
n n n
−
   
= + + + + +
   
   
（2）……………………………………………………1分
两式相加，得
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2 0 1 1 0
n
nn
a f f f f f f f f
n n n n
−  −
   
= + + + + + + + +
   
   
   
   
   
   
……………2分
由
( )
fx
对任意
Rx
有
( ) ( )
11f x f x+ − =
，得
( ) ( )
1 1 2 2
0 1 1
nn
f f f f f f
n n n n
−−
   
+ = + = + = =
   
   
………………………………………………4分
( )
1*
2
n
n
a n N
+
 =
………………………………………………………………………………………………………5分
由
12 1 1
2 2 2
nn
nn
aa
+
++
− = − =
得，
数列
是以
11a=
为首项，
1
2
d=
的等差数列. ……………………………………………………6分
（2）由（1）知
1
2
n
n
a+
=
，
( )
1
1 4
11
22 1
nn
na
bnn
a+
= =
 
−−
 
 
+
………………………7分
又
( )
4 1 1
4
11
n
bn n n n

 = = −

++

…………………………………………………………………………………9分
12 1 1 1 1 1
41 2 2 3 1
nn
T b b b nn

= + + + = − + − + + −

+

…………………………………………10 分
1
41 1
n
Tn

 = −

+

…………………………………………………………………………………………………………11 分
4
1
n
n
=+
.……………………………………………………………………………………………………………………12 分
18．（ 12 分）
解：（1）根据题意，可得男、女生分别选择“大理”和非“大理”的数据，得如下 2×2 列
联表：
选择“大理”
选择非“大理”
合计
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合计
60
40
100
……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2 分
2
2
60 40
100
5
(40 25 20 15) =8.250 7.
5 45 879K

−
=
. ……………………………………………………………4分
所以，在犯错误的概率不超过
0.5%
的前提下认为选择“大理”与性别有关. …6分
（2）设 4名男生为
, , ,a b c d
， ………………………………………………………………………………………7分
2名女生为
,mn
，………………………………………………………………………………………………………8分
则从中随机选 2人的的选法为：
高三文数 第 3 页 共 6 页
, , , , , , , , , , , , , ,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn
，共 15 种. ……………………9分
至少有一名女生的情况是：
, , , , , , , ,am an bm bn cm cn dm dn mn
，共 9种. ……………10 分
所以，至少抽到一名女生的概率
93
15 5
P==
.…………………………………………………………12 分
19．（ 12 分）
（1）证明：∵
DE AB⊥
∴ 折叠后，
' , , 'DE A E DE BE A E BE E⊥ ⊥ =
………………………………………………………2分
∴
'DE A BE⊥平面
…………………………………………………………………………………………………………3分
又
DE
平面
BCDE
……………………………………………………………………………………………………4分
∴平面
'A BE ⊥
平面
BCDE
. …………………………………………………………………………………………5分
（2）解：由于四棱锥
'A BPDE−
和四棱锥
'A BCDE−
，底在同一平面上，高相同. …6分
则由
''
1
2
A BPDE A BCDE
VV
−−
=
可得，
1
2
BPDE BCDE
SS=
四边形 四边形
.……………………………………7分
即
1
2
PCD BCDE
SS=
△四边形
.……………………………………………………………………………………………8分
3 7 3
43 22
ABC AED
BCDE
S S S= − = − =
四边形
…………………………………………………9分
7 3 1 sin60
42
PCD
S CD CP = =
…………………………………………………………………10 分
7
2
CP=
……………………………………………………………………………………………………………11 分
则
7
41
2
77
2
BP
PC
−
==
. ……………………………………………………………………………………………12 分
20．（ 12 分）
解：（1）当
1a=−
时，
( ) 2 1f x x=+
，
又
( )
y g x=
的导函数为
( )
1
'gx x
=
………………………………………………………………………1分
设
( )
00
,N x y
是
( )
y g x=
上一点，则在
( )
00
,N x y
的切线斜率为
0
1
x
. …………………2分
当
( )
00
,N x y
处的切线与
( ) 2 1f x x=+
平行时，
,MN
两点之间距离最小. ……………3分
令
0
1
x
=2，则
0
1
2
x=
，
…………………………………………………………………………………………………4分
1, ln 2
2
N
−


到
21yx=+
的距离为所求. ………………………………………………………………5分
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