辽宁省沈阳市2022-2023学年高三教学质量检测（一模）数学试题答案

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2023年高三年模拟（一）答案
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B
7．解析：令
ln
() t
ft t
=
，则
2
1 ln
'( ) t
ft t
−
=
，
(0, )te
时，
'( ) 0, ( )f t f t
单调递增；
( , ), '( ) 0, ( )t e f t f t +
单调递减，
ln 1
()
t
a f e
te
 =
，容易发现
12
5e
，即
ab
,
又
，
23
ln
52

，即，故．
8．解析：令
00
( , )P x y
， 四边形
OFPQ
为平行四边形，
00
( , )Q x y−
，
又直线
l
的倾斜角为
120
，则
0
0
0
0
3
3
y
x
y
xc
=
=−
−
，解得，
02
c
x=
，
故，又
0
60PFO=
，
OPF
为等边三角形，
设椭圆的左焦点为
1
F
，连接
1
PF
，则
1
PF F
为直角三角形，有
0
60PFO=
，
故，又，
31
c
ea
 = = −
．
二、选择题
9．BC 10．AD 11．ABD 12．ACD
11．解析：圆心
(1,2)C
，
C
到
l
的距离为
22
，令
00
( , )M x y
，则
00
1yx= − −
，
设切线长为
l
，
，故 A正确；
62
2 2 2 3
2
MAC
MACB
SS
=  =
四边形
，故 B正确；
2 2 2 26MP MQ MC CP MC = − = −
，故 C不正确；
切点弦
AB
的方程为，将
00
1yx= − −
代入，整理得
0( 1) ( 3 5) 0x x y x y− + − + − =
，
10
2 5 0
xy
xy
− + =
+ − =
，直线
AB
恒过
13
( , )
22
，故 D正确；
所以答案为 ABD．
12．解析：
π π
,
44
x
−


时，
2sinux=
与
sin2vx=
均为增函数，
()fx
也为增函数，故 A正确；
( ) 2sin(x ) sin 2( ) 2sin sin2 ( )f x x x x f x
 
+ = + + + = − +
，故 B不正确；
易证
()fx
是以
2
为周期的奇函数，
又
2
'( ) 2cos 2cos2 2(2cos cos 1) 2(2cos 1)(cos 1)f x x x x x x x= + = + − = − +
，
当
2 2 , '( ) 0, ( )
33
k x k f x f x


−   +
单调递增；
当
5
2 + 2 , '( ) 0, ( )
33
k x k f x f x


  +
单调递减，
max 33
( ) (2 )
32
f x f k
= + =
，
min 33
( ) (2 )
32
f x f k
= − = −
，故 CD 均正确，
所以答案为 ACD．
三、填空题
13．3 14．4 15．
6 32
33
；
（第一空 2分，第二空 3分） 16．
2
2+ 3
3
15．解析：
AB
与平面
BCD
所成角即为
ABE
，由三余弦公式，
得
cos cos cosABC ABE EBC = 
，又
60ABC=
，
30EBC=
，
3
cos 3
ABE  =
，即
6
sin 3
ABE=
，
又
3,S 2 2
ABE
BE
==
，解得
4AB =
，
又
60ABC ABD =  =
，
2BC BD==
，
90ADB ACB = =
，
AB
为外接球直径，
三棱锥外接球的体积为
32
3
．
16．解析：


，令
，
原式




，
由于
，
当其取时，原式取得最大值
．
令解：
，令

，可解得

，


．
四、解答题
17．解析：（ 1）由题意可知，
22
( 1) (4 1) 2=
n
anAB A n n nC = − + − = +
，………..1 分
因此
22
1( 1) 2( 1) ( 2 ) 2 3
n n n
b a a n n n n n
+
= − = + + + − + = +

，……….………3 分
( ) ( )
 
1 2 1 1 2( 1) 3 (2 3) 2
n n n n n n
b b a a a a n n
+ + + +
− = − − − = + + − + =
为常数，……..5 分
数列
 
n
b
是等差数列．………………………………..6 分
（2）由（1）知
2
1 1 1 1 1 1
2 ( 2) 22
nna nn n n n

= = = −

+++
，………………8分
12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
2 1 3 2 4 2 2 2
1 1 1 3
24+1
n
aa n nna n
 
+ + = − + − + + − = − −
 
+
 
+
．
………………………….10 分
18．解：(1)由题设
sin 3cos 0AA+=
，知
tan 3A=−
，………………..1分
又
0A

，故
2
3
A
=
．………………………………2分
(2)由
2
3
A
=
及①，利用余弦定理
2 2 2
cos 2
b c a
Abc
+−
=
可得
4c=
，……………..3分
由
2
3
A
=
及②，利用余弦定理
2 2 2
cos 2
b c a
Abc
+−
=
可得
10c=
，………………………4分
由
2
3
A
=
及③，由面积公式
1sin
2
S bc A=
可得
60bc =
，……………………….5分
经分析①②不能同时成立，①③不能同时成立，故正确条件为②③，即
10c=
，
6b=
．
……………………………………………….6分
（i）将
10c=
，
6b=
代入②得：
2
36 100 60 0a− + + =
可得
14a=
， ……………7 分
在
ABC
中，由正弦定理知
28
sin sin 3
ab
AB
==
，故
33
sin 14
B=
．……………..8分
（ii ）在△
ABD
和△
ADC
中，分别应用正弦定理，可得
,
sin sin sin sin( ) sin
BD AB DC AC AC
BAD ADB DAC ADB ADB
= = =
− 
,两式相除即得
BD AB
DC AC
=
(角平分线性质），……………10 分
则
5 35
14
84
BD =  =
，……………………………………….11 分
在△
ABD
中由正弦定理得
sin sin
BD AD
BAD B
=
，则
15
4
AD =
．…………………………….12 分
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