山西省朔州市2022-2023学年高三下学期2月月考试题 数学 含解析

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绝密★启用前（新高考卷）
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A．B．C．D．
2．已知复数 ， 满足 ， ，则
A．B．C．D．6
3．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从 A点处开始带球沿正北方向行进 16 米到达
B处，再转向北偏东 60°方向行进了 24 米到达 C处，然后起脚射门，则 A，C两点的距离为
A． 米 B． 米 C．32 米D． 米
4．已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 l，点 在 C上，过 P作l的垂线，垂足为
O，若 （O为原点），则 F到l的距离为
A．1 B．2 C．4 D．6
5．有一个棱柱形状的石料，底面是边长为 6的等边三角形，该石料侧棱垂直于底面，若可以将该石料打磨
成四个半径为 的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为
A．B．C．D．
6．已知向量 ， ，其中 ．若 ，则
A．B．C．D．
7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 3，方差为 5，乙组数据的
平均数为 5，方差为 3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
8．已知椭圆 M： 的上顶点为 A，过点 A且不与 y轴 重 合的直线 l与M的 另 一个交点 为
（其中 ），过 B作l的垂线，交 y轴于点 C．若 ，则 l的斜率 k=
A．B．C．D．
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知等比数列 的公比为 ，前 n项积为 ，若 ，则
A．B．C．D．
10．已知函数 的图象关于点 对称，且存在 ，
使得 在 上单调递增，则下列选项正确的是
A． 的最小正周期 B． 在 上单调递增
C．函数 的图象不可能关于点 对称 D．函数 在 内不存在极值点
11．已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与椭圆 C交于 A，B两
点（其中 A在B的左侧），记 面积为 S，则
A．B． 时，
C．S的最大值为 D．当 时，
12．已知函数 ，则下列说法正确的是
A．若 在 R上单调递增，则
B．若 ，设 的解集为 ，则
C．若 有两个极值点 ， ，且 ，则
D．若 ，则过 仅能做曲线 的一条切线
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．A，B两篮球运动员在球衣号分别为 6，8，9，18 的四件球衣中各随机选一件，则 A选的是偶数号球衣
的不同选法共有 种．
14．已知直线 过定点 ，则 的最小值为 ．
15．若在圆 C： 上存在一点 P，使得过点 P作圆 M： 的切线长为 ，
则r的取值范围为 ．
16．若曲线 与曲线 存在公切线，则 a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 ，且△ABC 的周长为 6．
（1）证明：；
（2）求△ABC 面积的最大值．
18．（12 分）
已知数列 各项均为正数， ， ，且 ．
（1）若 ，求 的前 n项和 ；
（2）若 为等比数列，且 不为等比数列，求 的值．
19．（12 分）
一对夫要计划进行为期 60 天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆，且约定：①在任意一天的旅途中，全天只
由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为 ，由妻子驾
车的概率为 ；③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为 ．
（1）求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望；
（2）设在第n天时，由丈夫驾车的概率为 ，求数列 的通项公式．
20．（12 分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC， ， ，
．
（1）证明：；
（2）求二面角 A-PC-B的余弦值．
21．（12 分）
已知双曲线 C： 的焦距为 8．过左焦点 F的直线与 C的左半支交于 A，B两点，
过A，B作直线 l： 的垂线，垂足分别为 M，N，且当 AB 垂直于 x轴时， ．
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