山西省大同市2022-2023学年高一下学期4月期中“双新”质量监测数学答案

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大同市高一年级“双新”质量监测

数学试题参考答案

1. A

【详解】

z2+ 2z=z(z+ 2) = (i - 2)i = -1 - 2i，故选：A.

2. C

【详解】由题意得  

AP =1

 

AB，设 P(x,y),则(x- 1,y- 2) = 1

3(2 - 1, - 8 - 2) =

( )

3, - 10

3，

解得 x=4

3,y= - 4

故选：C.

3. B

【详解】由 a

sin A=c

sin C得sin C=csin A

a=3

2，所以 C= 60°或120°.当C= 60°时，

B= 90°；

当C= 120°时，

B= 30°，即 B= 30°或90°.故选：B.

4. D

【详解】对于 A选项，若 a⋅b=a⋅c= 0，则 a⊥b，a⊥c，显然 b，c不一定相等；

对于 B选项，若 a，b共线且不与 c共线，显然不成立；

对于 C选项，若 b，c不共线，显然 (a⋅b)c≠ (a⋅c)b；

对于 D选项，若 a=b，显然成立 .故选：D.

5. A

【详解】由直观图可得原平面图如图所示，在等腰直角三角形 A'B'O' 中，由斜边 O'A' = 2 得

A'B' =O'B' = 1，

所以在 △ABO 中，

OB = 1，OA = 2 2，所以斜边 AB =OA2+OB2= 3，

即原 △ABO 的周长是 4 + 2 2 ．

故选：A.

6. C

【详解】

 

AB ⋅ 

AC =

 

AC cos π

3= 2,

 

AD ⋅ 

BE =1

2( 

AB + 

AC ) ⋅ (  

AE - 

AB ) = 1

2( 

AB + 

AC ) ⋅

( )

 

AC - 

AB = - 1

 

AB ⋅ 

AC -1

 

AB 2+1

 

AC 2= -1.

故选：C.

7. D

【详解】由韦达定理得z1+z2= 1，z1z2= 1，所以 z3

1+z3

2= ( z1+z2)( z2

1+z2

2-z1z2) = ( z1+z2) [( z1+z2)2- 3z1z2) ] = -2.

故选：D.

8. B

【详解】函数 f（x）= sin x+ 3 cos x（x∈R）

化简为 f（x）= 2 sin

( )

x+π

3，将 y=f（x）的图象上所有点的横坐

标缩短到原来的 1

2倍（纵坐标不变），得 g（x）= 2 sin

( )

2x+π

3，再将得到的图象上所有点向左平行移动

θ（θ> 0）个单位长度，得 h（x）= 2 sin é

êê

êù

úú

( )

x+θ+π

3= 2 sin

( )

2x+ 2θ+π

3，此图象关于直线 x=3

4π对称，则

2 × 3π

4+ 2θ+π

3=kπ + π

2，k∈Z，得 θ=kπ

2-2π

3，k∈Z，因为 θ> 0，所以当 k= 2 时，

θ的最小值为

2× 2 - 2π

3=π

3．

故选：B.

9. AD

【详解】因为 A=π

3,c= 3，根据正弦定理 a

sin A=c

sin C,可得 sin C=3

2a.因为 △ABC 有唯一解，所以 sin C=1或

a≥c= 3，即 a=3

2，或a≥ 3，故选：AD.

高一数学试题答案第 1页（共 5页）

10. ACD

【详解】z=i2023

1 - i =(i2)1011 × i

1 - i =-i

1 - i =-i(1 + i)

(1 - i) (1 + i) =1 - i

2=1

2-i

2，

所以 z的虚部为-1

2，

z=1

2+1

2i，

z=2

2，

z⋅

( )

2-i

( )

2+i

2=1

2，故选：ACD．

11. ACD

【详解】因为向量 a，

b不共线，对于 A选项，假设 a，

a+b共线，可设 a+b=ma，

m∈R，

可得出 b= (m- 1)a，与已知条件矛盾，所以 a，

a+b不共线，可作为平面内所有向量的一组基底；

对于 B选项，因为 a-b=-(b-a)，所以 a-b与b-a共线，不能作基底；

对于 C选项，假设 a- 2b与2a+b共线，则 a- 2b=n(2a+b)，

n∈R，所以

{

1 = 2n，

-2 = n，n无解，所以 a- 2b与2a+b

不共线，可作为平面内所有向量的一组基底；

同理，D选项可作为平面内所有向量的一组基底．故选：ACD.

12. BD

【详解】因为

( )

a+c-b

( )

a+b+c=ac，所以 a2+ 2ac +c2-b2=ac，即 b2=a2+c2+ac，

因为 b2=a2+c2- 2ac cos B，所以 cos B= - 1

2，所以 B=2π

3，所以此三角形为钝角三角形，故 A不正确；

设外接圆半径为 r，则由正弦定理 b

sin B= 2r，可得 r=2，故 B正确；

由b= 2 3 得a2+c2+ac = 12，又 a2+c2≥ 2ac，所以 2ac +ac ≤ 12，所以 ac ≤4，当且仅当 a=c= 2 时取等号，

所以 S△ABC =1

2ac sin B=3

4ac ≤3，即△ABC 的面积最大值为 3，故 C不正确，D正确 .

故选：BD.

13. 3π

【详解】由题意可知截面为圆，设其半径为 r，根据球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面可知 r2+ 12= 22，得

r2= 3，所以截面面积为 πr2= 3π.

14. b=

( )

-4

5,3

5或b=

( )

5, - 3

5，写出一个即得满分

【详解】设 b=

( )

x，y满足要求，由单位向量可知 |b| = 1，所以 x2+y2=1.

由于 a⊥b，所以 a∙b= 0，即 3x+ 4y= 0，解得

ïï

x= - 4

5，

y=3

5，

或

ïï

x=4

5，

y= - 3

5，

故b=

( )

-4

5，

5或b=

( )

5，-3

15. 3 6

【详解】因为 sin A∶ sin B∶ sin C= 5 ∶ 6 ∶ 7，所以 a∶b∶c= 5 ∶ 6 ∶ 7，因为 △ABC 周长为 9，即 a+b+

c= 9，所以 p=9

2，a=5

2，b= 3，c=7

2，

所以 △ABC 的面积为 S=9

( )

2-5

( )

2- 3

( )

2-7

2=3 6

高一数学试题答案第 2页（共 5页）

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