山西省2023 年省际名校联考二（冲刺卷）数学答案和解析

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数学试题答案 第 1页（共 10 页）
评分说明：
1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定
评分。
2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不
给分。
A卷选择题答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A
【解析】∵z=1 + i
( )
1 - i 2=1 + i
-2i =i - 1
2= - 1
2+1
2i，∴
||
z=
( )
-1
2
2
+
( )
1
2
2
=2
2.
2. C
【解析】
1,2 ∈ N,1
2∉N，故 N不是数域，A错误，同理 B错误；任意 a,b∈Q，都有 a+b、
a - b、
ab、
a
b∈Q
（除数 b≠ 0
），
故Q是一个数域 .对于集合 A=
{ }
x
|
x≠ 0,x∈R，
1,1 ∈ A,1 - 1 = 0 ∉ A，故
{ }
x
|
x≠ 0,x∈R不是数域 .
3. B
【解析】设 
AB =λ
 
AN，
∵ 
AP =1
3
 
AD =1
3×1
2
( )
 
AB + 
AC =1
6
 
AB +1
6
 
AC=λ
6
 
AN +1
6
 
AC，
∵N,P,C三点共线，
又∵λ
6+1
6= 1，∴λ= 5.
∴ 
AB = 5  
AN，
∴ 
AN =1
5
 
AB.
4. D
【解析】设点 B1，B关于“折痕”所在直线对称，即折前点 B在圆上对应的点为点 B1.连接 AB1
交“折痕”于点 P，则点 P到A，B两点距离之和最小，且 |BP| +|AP| =|AB1|= 4. 所以 P的轨迹
是以 A，B为焦点，且长轴长为 2a=4的椭圆，
焦距2c=|AB| = 2，
c= 1，故 短半轴长b= 3 ，所
以△MAB 面积的最大值为 1
2× 2c×b=3.
5. D
【解析】记小李路上所需时间为 X，小王路上所需时间为 Y.
对于 A，
P
( )
Y< 28 = 1 - P
( )
28 ≤ Y≤ 52
2= 0.00135 < 0.01，所以 A合理；
对于 B，小李在 7：50 前到达晋祠的概率为 P
( )
X< 50 = 1 - P
( )
38 ≤ X≤ 50
2+P
( )
38 ≤ X≤ 50 = 0.99865，小王在
B1
A
B
P
（第 4 题答图）
2023年省际名校联考二（冲刺卷）
数学参考答案详解及评分说明
数学试题答案 第 2页（共 10 页）
7：50 前到达晋祠的概率为 P
( )
Y< 50 < P
( )
Y≤ 52 = 1 - P
( )
28 ≤ Y≤ 52
2+P
( )
28 ≤ Y≤ 52 = 0.99865，小李在 7：
50 前到达晋祠的概率要大，所以选项 B合理；
对于 C，小李在 7：48 前到达晋祠的概率为 P
( )
X< 48 = 1 - P
( )
40 ≤ X≤ 48
2+P
( )
40 ≤ X≤ 48 = 0.97725，小王在
7：48 前到达晋祠的概率为 P
( )
Y< 48 = 1 - P
( )
32 ≤ Y≤ 48
2+P
( )
32 ≤ X≤ 48 = 0.97725，选项 C合理；
对 于 D，小 李 在 7：44 前到达晋祠的概率为 P
( )
X< 44 = 1
2，小 王 在 7：44 前到达晋祠的概率为 P
( )
Y< 44 =
1 - P
( )
36 ≤ Y≤ 44
2+P
( )
36 ≤ X≤ 44 = 0.84135，小王在 7：44 前到达晋祠的概率要大，选项 D不合理 .
6. C
【解析】f′
( )
x=xex-ax2-x=x
( )
ex-ax - 1 ，
记g
( )
x= ex-ax - 1
( )
x≥ 0 ,g′
( )
x= ex-a≥ ex- 1 ≥ 0，故 g
( )
x在
[
)
0, + ∞ 上单调递增，
g
( )
x≥g
( )
0 = 0, f′
( )
x≥ 0，故 f
( )
x在
[
)
0, + ∞ 上单调递增，故 f
( )
x有最小值 f
( )
0 = -1，无最大值 .
7. B
【解析】设底面四边形 ABCD 的中心为 O，连接 PO，则 PO=h.
设点 M到平面 PCD 的距离为 MQ，则 VM-PCD =VP-MCD 即1
3×S△PCD ×MQ =1
3×S△MCD ×PO
∴MQ =S△MCD ×PO
S△PCD
=2h
h2+ 1 =2h2
h2+ 1 = 2 1
1 + 1
h2
，
∵h∈
[ ]
3 ,2 2 , ∴ 1
1 + 1
h2
∈é
ë
ê
ù
û
ú
3
4,8
9,
∴MQ ∈é
ë
ê
êù
û
ú
ú
3 , 4 2
3.
8. A
【解析】当点 P为
( )
0,1 或
( )
0,3 时，存在 Q
( )
e-a,0 ，使得  
OP·
 
OQ = 0.当P点横坐标非零时，
 
OP·
 
OQ = 0，即 kOP·kOQ =
-1, - 1
kOP
=kOQ.可求得 kOP ∈
(
]
-∞, - 3 ⋃
[
)
3 , + ∞ ，-1
kOP
∈é
ë
ê
êö
ø
÷
÷
-3
3,0 ⋃ æ
è
ç
çù
û
ú
ú
0, 3
3.设Q
( )
x,lnx+a，kOQ =
lnx+a
x.记函数 f
( )
x=lnx+a
x，
f′
( )
x=1 - a- lnx
x2，令 f′
( )
x> 0，得 0 < x< e1 - a；令 f′
( )
x< 0，得 x> e1 - a，故 f
( )
x在
( )
0,e1 - a上单调递增，在
( )
e1 - a, + ∞ 上单调递减，
f
( )
xmax =f
( )
e1 - a=1 - a+a
e1 - a= ea- 1，
f
( )
x值域为
(
]
-∞,ea- 1 ，从而
kOQ ∈
(
]
-∞,ea- 1 ，由 题 é
ë
ê
êö
ø
÷
÷
-3
3,0 ⋃ æ
è
ç
çù
û
ú
ú
0, 3
3⊆
(
]
-∞,ea- 1 ，从 而 ea- 1 ≥3
3,a≥ 1 - ln3
2，故 a的 取 值 范 围 是
é
ë
ê
ö
ø
÷
1 - ln3
2, + ∞ .
数学试题答案 第 3页（共 10 页）
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9. AD
【解析】
f
( )
x= cos
( )
x+ 2φ- 2cosφcos
( )
x+φ- sinx
= cosφcos
( )
x+φ- sinφsin
( )
x+φ- 2cosφcos
( )
x+φ- sinx
= -cosφcos
( )
x+φ- sinφsin
( )
x+φ- sinx
= -cosx- sinx
= - 2 sin
( )
x+π
4，
对于 A，令 x+π
4=kπ
( )
k∈Z，则 x=kπ - π
4
( )
k∈Z，当 k= 0 时，
x= - π
4，
∴f
( )
x的图象关于点
( )
-π
4,0 中心对称，A正确 .
对于 B，令 x+π
4=π
2+kπ
( )
k∈Z，则 x=π
4+kπ
( )
k∈Z，B错误 .
对于 C，令 -π
2+ 2kπ ≤ x+π
4≤π
2+ 2kπ
( )
k∈Z，则 -3π
4+ 2kπ ≤ x≤π
4+ 2kπ
( )
k∈Z，
∴函数 f
( )
x在é
ë
ê
ù
û
ú
-3π
4,π
4上单调递减，C错误 .
对于 D，当 x=π
4时，
f
( )
x取最小值 - 2，D正确 .
10. BCD
【解析】对于 A选项，E在棱 A1B1上运动时，
DE ⊂平面 A1B1CD，连接 A1D,AD1，则 AD1⊥平面
A1B1CD，∴AD1⊥DE，A错误 .
对于 B选项，平面 A1DE 与平面 ABCD 所成二面角即为 ∠A1DA =π
4，B正确 .
对于 C选项，
BC ∥AD,∴BC ∥平面 AED，
∴当P是A1C与平面 AED 的交点时，
BC ∥平面 AEP，C正确 .
对于 D选项，连接 BC1与B1C交于 O，连接 PO，
则在 △A1B1C中,PO ∥A1B1，又∵PO ⊂平面 PBC1，
A1B1⊄平面 PBC1，
∴A1B1∥平面 PBC1，∴E到平面 PBC1的距离为定值，
∴三棱锥 E-PBC1体积不变，D正确 .
11. ABD
【解析】每次传球可将球传给另外两人中的任何一人，故 n次传球共 2n种方法数，若第 n次传球后球在甲手中，则
第n- 1 次传球后球必不在甲手中，从而 an= 2n- 1 -an- 1,an+an- 1 = 2n- 1，故 A正确；由 an+an- 1 = 2n- 1，得
( )
-1 nan-
( )
-1 n-1 an- 1 =-
( )
-2 n-1，从 而
( )
-1 nan-
( )
-1 1a1=-
( )
-2 1-
( )
-2 2-…-
( )
-2 n-1 =- -2
[ ]
1-
( )
-2 n-1
1-
( )
-2 =2+
( )
-2 n
3，
又a1= 0，故 an=2n+ 2
( )
-1 n
3，故 B正确；
an- 2an- 1 = 2
( )
-1 n，故
{ }
an- 2an- 1 为等比数列，又 an+an- 1 = 2n- 1，故
{ }
an+an- 1 为等比数列，故 C错误；当 n为偶数时，
an=2n+ 2
( )
-1 n
3>2n
3，易知 an+ 2bn= 2n，则 2
( )
bn-an= 2n-
3an< 0,an>bn，故 D正确 .
A
E
DC
B
A1
D1C1
B1
（第 10 题 A 选项答图）
A
E
DC
B
A1
D1C1
B1
（第 10 题 C 选项答图）
A
E
DC
B
A1
D1C1
B1
（第 10 题 D 选项答图）
O
P
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