山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学评分细则

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山西大学附中
2022—2023 学年第一学期高二年级 1月阶段测试
数学试题
考察时间：120 分钟 满分：150 分 考查内容：解析几何 导数
命题人：孙娟 审核人：张耀军
一、 单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1-8 :BBDB CACC 9.AC 10.AD 11.AD 12.ABC
1．抛物线 的焦点坐标为（PP PP）
A． B． C． D．
【答案】B
2．函数 的单调递减区间为（PPPP）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，由 解得： ，所以函数
的单调递减区间为 ．故选：B．
3．已知函数 ，则 （PPPP）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，所以 .故选：D.
4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量
N
（单位：贝克）与时间
t
（单位：天）满足函数关系
，其中 为 时该同位素的含量.已知 时，该同位素含量的瞬时变化率为 ，
则 （P）
A．24 贝克 B． 贝克 C．1 贝克 D． 贝克
【答案】B
【详解】解：由 ，得 ，
因为 时，该同位素含量的时变化率为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，故选：B
5．设椭圆 离心率为 ，双曲线 的渐近线的斜率小于 ，则椭圆
的离心率 的取值范围是（PPPP）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据双曲线方程 可得，其渐近线方程为 ，
又因为 ，且渐近线的斜率小于 ，即 ；
所以，椭圆 的离心率
即离心率 的取值范围是 .故选：C
6.设定义在 上的函数 ，满足任意 ，都有 ，且 时， ，
则 ， ， 的大小关系是（PPPP）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.
【详解】依题意，任意 ，都有 ，所以 是周期为 的周期函数.
所以 .
构造函数 ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
即 ，也即 .故选：A
7．1970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫
星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕
地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连
线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为 ， ，下列结论错误的是
（PPPP）．
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁
【答案】C
【详解】解：A 选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为 ，最大
值为 ，所以 A 正确；
B 选项：根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时
间，故 B 正确；
C 选项：因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径
越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，
所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故 C 不正确；
D 选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即 越小，则 越大，椭圆越扁，
故 D 正确.故选：C．
8．已知函数 有两个零点 ，且存在唯一的整数 ，则实数 的取值范围
（P ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意 ，得 ，
设 ，求导
令 ，解得
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
故当 时，函数取得极大值，且
又 时， ；当 时， ，故 ；
作出函数大致图像，如图所示：
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