山东省郯城第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题答案

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郯城二中高三上学期期末考试数学答案

一、单项选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D D C A B C A C C A B B

二、多项选择题：

题号 13 14 15 16

答案 BC ABD AD AD

三、解答题：

17. 解：（1）因为 bcosC+ccosB＝2acosA，

由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosA，----------------------------1 分

即sin（B+C）＝2sinAcosA，

故sinA＝2sinAcosA， --------------------------------------------------------------3 分

因为 sinA＞0，

所以 cosA＝， ----------------------------------------------------------------4 分

由A为三角形内角得，A＝； ----------------------------------------------5 分

（2）因为 a＝2，△ABC 的面积为 2，

所以 bcsinA＝＝2， --------------------------------------------------6 分

所以 bc＝8， --------------------------------------------------------------------------7 分

由余弦定理得，a2＝b2+c22﹣bccosA＝（b+c）22﹣bc 2﹣bccosA＝（b+c）224﹣＝12，--------------9 分

故b+c＝6． ------------------------------------------------------------------------10 分

18.（1）解：由 a1+2a2+3a3+…+nan＝（n1﹣）2n+1+2

可得：a1+2a2+3a3+…+（n1﹣）an1﹣＝（n2﹣）2n+2（n≥2）， ---------1 分

两式相减得：nan＝（n1﹣）2n+1﹣（n2﹣）2n＝n×2n， ------------------3 分

即an＝2n，n≥2， --------------------------------------------------------------------4 分

又当 n＝1时，有 a1＝2也适合上式， -------------------------------------------5 分

∴an＝2n； -----------------------------------------------------------------------------6 分

（2）证明：由（1）可得：＝＝（ ﹣ ），---------------8 分

∴Tn＝（1﹣+﹣+﹣+…+ ﹣+﹣）---------------------------10 分

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＝（1+ ﹣ ﹣ ） ------------------------------------------------------------------11 分

＜（1+ ）＝． ----------------------------------------------------------------------------12 分

19. 解:（1）根据以上数据，K2的观测值 k＝ -----------------2 分

≈3.571＞2.706，------------------------------------3 分

∴依据小概率值的独立性检验，能据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关. ---------4 分

（2）由题意可得：X～B（3，）， --------------------------------------5 分

∴P（X＝k）＝ ×，k＝0，1，2，3，

P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝． -----------------9 分

可得：随机变量 X的分布列：

X 0 1 2 3

-----------------------------------10 分

均值 E（X）＝3× ＝． -----------------------------------------------------------------12 分

20.（1）证明：，四边形为平行四边形，， ---------------------2 分

又平面，平面，

平面 ---------------------------------------------------------------4 分

（2）如图建系，设正方体的棱长为 2. -------------------------------------------5 分

，，， ----------------------------6 分

，，，，----------7 分

设平面的法向量为，

则 -------------------------------------------8 分

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令，，， . --------------------10 分

设直线与平面所成角为， . ------------12 分

21.解：（1）由题意可知，---------------------3 分

解得：， ------------------------------------------------4 分

∴椭圆 C的方程为：．------------------------------5 分

（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为：x＝my+t，

联立方程，消去 x得：（m2+3）y2+2mty+（t26﹣）＝0，

∴，， ----------------------------------6 分

∵线段 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，

∴，

∴x1x2+y1y2＝0， ---------------------------------------------------------------7 分

∴（my1+t）（my2+t）+y1y2＝0，

整理得：， -----------------------8 分

把，代入上式得：，

整理得：， ------------------------------------------------------9 分

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