2023年辽宁省大连市高三适应性测试（二）数学答案

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数学答案共 11 页第 1页
2023 年大连市高三适应性测试参考答案与评分标准
数学
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根
据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解
答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一.单项选择题：
1．(B)2．(B)3.(C)
4．(D)
解：由题意可知
 
2, 2 2AB
 
，把点
B
绕点
A
逆时针方向旋转
7π
4
，得到点
P
，
设
 
,P x y
，则
 
7π 7π 7π 7π
2 cos 2 2 sin , 2 sin 2 2 cos 1, 3
4 4 4 4
AP
 
 
 
 
，
所以
1 1
2 3
x
y
 
 
，解得
0x
，
1y 
，
所以点
P
的坐标为
，故选：D.
5．(B)
解:
3.5, 36.5x y 
，由回归方程过点
，故
36.5 9 3.5 a 
，得
5a
，
即
9 5y x 
．
当
6x
时，
9 6 5 59y  
，所以最接近的是 60，故选：B．
6．(C)
解：如图，连接
, , ,AD BC AC SC
.
因为
O
为
,AB CD
中点，且
AB CD
，所以四边形
ADBC
为矩形，
所以
/ /DB AC
，所以
或其补角为异面直线
SA
与
BD
所成的角.
设圆
O
的半径为 1，则
2SA SC 
.因为
3
AOD
 
，所以
3
ADO
 
.
在直角
DAC△
中，
2CD
，得
3AC
.所以
2 2 2
( 2) ( 3) ( 2) 6
cos 4
2 2 3
SAC
 
 
 
，
数学答案共 11 页第 2页
所以异面直线
SA
与
BD
所成角的余弦值为
6
4
.故选：C.
7．(D)
解：方法一
令
0x
，有
2
( ) ( ) (0)f y f y f 
，
因为
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 (0)f x f x f x f x f  
，
所以
(0) 1f
，
因为
2
( ) ( ) ( )f x y f x y f x  
，
所以
( ) ( )
( ) ( )
f x y f x
f x f x y
，
所以
1 3 5
( ) ( ) ( )
(1) (3)
2 2 2
21 3 5
(0) (1)
( ) ( ) ( )
2 2 2
f f f
f f
f f
f f f

，
所以
6
1
( ) 2 4 8 16 32 64 126
2
k
k
f
 
，
故选 D
方法二：抽象出特殊函数
( ) 4x
f x
，快速求得答案
6
1
( ) 2 4 8 16 32 64 126
2
k
k
f
 
，
故选 D.
8．(A)
解：由
cos120 2   a b a b
，解得：
4 a b
，当
1
3
时，
1 2
3 3
 c a b
，由
 a c b c
得：
1 2 1 2
3 3 3 3
   
   
   
   
a a b b a b
，即
2 2
1 2 1 2
3 3 3 3
 a a b a b b
，由
2  a b
得：
2 2
1 2 2
3 3 3
 a b
，因为
4 a b
，假设
2a b
，则可求出
2b
，
2 2a
，代入
2 2
1 2 2
3 3 3
 a b
中，等号不成立，故①错误；
设
OA
a
，
OB
uuur
b
，
OC
c
，因为
 
1 0 1
  
   c a b
，由向量共线定理可
知，点
C
在线段
AB
上，如图，设
,
a c
，则
, 120
 b c
，因为
 a c b c
，所
以
 
cos cos 120
 
 a c b c
，即
 
cos cos 120
 
 a b
，故
a
在
c
方向
的投影等于
b
在
c
方向的投影相等，故点
C
满足
OC AB
，又
cos
x c
，
 
cos 120
 y c
，所以
   
2 2 2 2
2 2 2 2 3
cos cos 120 cos cos 120 4
x y xy c c c c
 
   
，其
中
1 3
sin120 4 3
2 4
 
ABO
S a b
，而
数学答案共 11 页第 3页
要想保证
c
最大，只需
AB
最小，由余弦定理可得：
2 2 2 2 2
2 cos120 4 2 4 12    AB a b a b a b a b
，当且仅当
a b
时，等号成立，所以
AB
最小值为
2 3
，所以
c
最大值为
21
ABO
S
AB
，故
2
2 2 3
4
x y xy c 
的最大值为
3
4
，②正确.故选：A.
二.多项选择题：
9．(BC)
解:事件
A
为“只订甲报纸”，事件
B
为“至少订一种报纸”，包含为订甲报纸，订乙报
纸，订甲乙两种报纸，事件
C
为“至多订一种报纸”包含订甲报纸或订乙报纸，事件
D
为
“不订甲报纸”，事件
E
为“一种报纸也不订”．
A
．
A
与
C
不互斥不对立事件，所以
A
与
C
是互斥事件，不正确；
B
．
B
与
E
是互斥事件，且是对立事件，正确；
C
．
B
与
C
不互斥不对立事件，所以
B
与
C
不是互斥事件正确；
D
．
C
与
E
既不互斥也不对立事件．所以
C
与
E
是互斥事件不正确；
10．(ABC)
解析：对于选项 A，因为
2p
，所以
1 2 2 | |x x PQ  
，则
8PQ
，故 A 正确；
对于选项 B，设
N
为
PQ
的中点，设点
N
在
l
上的射影为
1
N
，点
Q
在
l
上的射影为
1
Q
，
则由梯形中位线的性质可得
1 1
1=2 2 2
PP QQ PF QF PQ
NN
 
，故 B 正确；
对于选项 C，因为
，所以
1
| | | | | | | | 2PM PP PM PF MF 
，故 C 正确；
对于选项 D，显然直线
0x
，
1y
与抛物线只有一个公共点，设过
M
的直线方程为
1( 0)y kx k 
，联立
2
1
4
y kx
y x
 
，
，
消去
y
并整理，得
2 2 (2 4) 1 0k x k x  
，令
0 
，则
1k
，所以直线
1y x 
与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故 D 错
误.故选 ABC.
11. (BC)
解：对于 A，
2MN
，
1MD
，所以
2 2 3DN MN MD  
，
则
MN
的中点到
MD
中点的距离为
3
2
，
MN
中点
P
的轨迹为以
MD
中点为圆心，
3
2
为半径且平行于平面
ABCD
的圆，
其面积为
2
3 3
( )
2 4
 
，故 A 错误；
对于 B，
1
BB
平面
ABCD
，
NB
即为
N
到直线
1
BB
的距离，
在平面
ABCD
内，点
N
到定点
B
的距离与到定直线
DC
的距离相等，
所以点
N
的轨迹就是以
B
为焦点，
DC
为准线的抛物线，故 B 正确；
对于 C，如图，建立空间直角坐标系，设
 
, , 0N x y
，
 
10,0,2D
，
 
2,0,0A
，
 
2, 2,0B
，
所以
 
1, , 2D N x y 
，
 
0, 2,0AB
，
1
2 2
1
| | | 2 | 1
cos 60 2
| || | 4 2
D N AB y
D N AB x y
 
 
 
 
，
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