2023届辽宁省沈阳市第二中学高三第五次模拟考试 数学答案

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五模（数学）试卷答案 第 1页，共 4页
沈阳二中 2022—2023 学年度下学期第五次模拟考试
高三（23 届）数学试题答案
1．DDBDA 6-8 ABC 9.BD 10. ACD 11.ACD 12.BC
13．
1
10
14.
9
2
15．
3
2
16.24
17. （1）因为
12n
n n
a a
，所以
1
1 2 2n
n n
a a
，∴
1
222
2
n
n
n
n
a
a
 
，
所以
2n
n
a
a
为常数 2. ……5分
（2）因为
12a
，
，所以
1
1 2 2a a
，即
21a
，又
22
n
n
a
a
，
∴数列
 
2 1n
a
是2为首项，2为公比的等比数列；
数列
 
2n
a
是1为首项，2为公比的等比数列；
所以
 
2 1 3 5 2 1 2 4 6 2n n n
T a a a a a a a a
    
1
2 2 1 2 3 2 3
1 2 1 2
n n
n
 
 
 
.……10 分
18.（1）在
ABC
中，由正弦定理得
sin sin
AC AB
B BCA
，
即
 
12 4 3
sin 180 45 75 sin 75
AB
   
，
 
6 2
12 4 3 44 2
3
2
AB
 
 
故1号机器人和 2号机器人之间的距离为
4 2
米 ……6分
（2）如图，
设
BE x
米.由题意，
2ED x
米.
 
17 2AE AD ED x  
米
在
ABE
中，由余弦定理得
2 2 2 2 cosBE AB AE AB AE A   
，
 
   
22
24 2 17 2 2 4 2 17 2 cos45x x x  
整理得
2
3 52 185 0x x  
.解得
15x
，
2
37
3
x
.
所以
17 2 7AE x 
，或
23
3
AE  
(不合题意，舍去)……12 分
19．（1）如图，在三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
中，取 AC 的中点 D，连接 BD，
因为
ABC
是等边三角形，则
BD AC
，又
BD
平面 ABC，
平面
1 1
AA C C
平面 ABC，平面
1 1
AA C C
平面
ABC AC
，则
BD
平面
1 1
AA C C
，
而
1
A C
平面
1 1
AA C C
，于是
1
BD A C
，又
1
A C BC
，
BD BC B 
，
BC
平面 ABC，
五模（数学）试卷答案 第 2页，共 4页
因此
1
A C
平面 ABC，
又
AC
平面 ABC，则
1
A C AC
，于是
2 2 2 2
1 1 1 1
AA AC AC AC BC A B  
，
所以
1 1
A A A B
.……6分
（2）取 AB 的中点 F，连接 CF．由（1）得
1
A C
平面 ABC，
又
1 1
/ /B B A A
，所以
1
A AC
是直线
1
B B
与平面 ABC 所成的角，即
145A AC  
，
12A C AC 
，
由（1）知
1
A C
，CF，AB 两两互相垂直，以 C为坐标原点，直线 CF 为x轴，
过点 C且平行于 AB 的直线为 y轴，直线
1
CA
为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
(0, 0, 0)C
，
( 3, 1, 0)A
，
1(0, 0, 2)A
，
1(0,2,2)B
，
1( 3,1, 2)C
，
3 1
( , , 2)
2 2
E
，
于是
 
13, 3, 2AB  
，
1
3 3
, ,0
2 2
EB  
 
 
 
，
1(0,2,2)CB
，
设平面
1
AB E
的法向量为
 
1 1 1
, ,xn y z
，则
1
1
0
0
n AB
n EB
 
 
，即
1 1 1
1 1
3 3 2 0
3 3 0
x y z
x y
  
 
，
令
13x
，得
 
3, 1,3n 
，设直线
1
B C
与平面
1
AB E
所成的角为
则
1
1
1
4 26
sin cos , 13
13 2 2
n CB
n CB
n CB
 
 
 
 
，
即直线
1
B C
与平面
1
AB E
所成的角的正弦值为
26
13
.……12 分
20．
（1）设事件 C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐”，
事件 D为“乙员工午餐和晚餐都选择 B餐厅就餐”，
因为 100 个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐的天数为 30，
乙员工午餐和晚餐都选择 B餐厅就餐的天数为 40，
所以
 
30 0.3
100
P C  
，
 
40 0.4
100
P D  
．……4分
（2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择 B餐厅就餐的概率为 0.1，
乙员工午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐的概率为 0.2，
记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则 X的所有可能取值为 1、2，
所以
 
1 0.3 0.2 0.1 0.4 0.1P X   
，
 
2 1 1 0.9P X P X  
，
所以 X的分布列为：
X
1
2
P
0.1
0.9
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