2023届辽宁省沈阳市第二中学高三第五次模拟考试 数学

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五模（数学）试卷第 1页，共 6页
沈阳二中 2022—2023 学年度下学期第五次模拟考试
高三（23 届）数学试题
命题人：高三数学组 审校人：高三数学组
说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150 分
2.考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分)
一.单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．设集合
 
*
N | 2A x x 
，集合
 
22B y y x  
，则
A B
（ ）
A．
 
1,4
B．
 
2,4
C．
 
1,2,3,4
D．
 
2,3,4
2．已知复数
i
1 i
z
（其中
为虚数单位），则
z
的共轭复数的虚部为（ ）
A．
1i
2
B．
1i
2
C．
1
2
D．
1
2
3．某校高三年级一共有 1200 名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第 80 百分位数是 103 分，则
数学成绩不小于 103 分的人数至少为（ ）
A．220 B．240 C．250 D．300
4．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关。如图为某校数学社团用数学软件
制作的“蚊香”。画法如下：在水平直线上取长度为 1的线段 AB，作一个等边三角形 ABC，然后以点 B
为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段 CB 的延长线于点 D（第一段圆弧），再以点 C为圆心，CD 为
半径逆时针画圆弧交线段 AC 的延长线于点 E，再以点 A为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类
推，当得到的“蚊香”恰好有 11 段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．
14π
B．
18π
C．
30π
D．
44π
5．设
,a b
是两个单位向量，若
a b
在
b
上的投影向量为
2
3b
，则
cos ,a b 
（ ）
A．
1
3
B．
1
3
C．
2 2
3
D．
2 2
3
五模（数学）试卷第 2页，共 6页
6．魏晋时期数学家刘徽（图 a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它
由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为 1的圆
柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为 2的正方体时（如图 b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图 c）
即得一个“牟合方盖”，图 d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点
A
，
B
，
C
，
D
，
P
，
Q
均在
原正方体的表面上）．
由“牟合方盖”产生的过程可知，图 d中的曲线
PBQD
为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
2
2
B．
1
2
C．
2
4
D．
1
4
7．已知函数
 
2
π π
3sin 2 2 cos 1
3 6
f x x x
 
   
 
 
，将函数
 
f x
的图象向左平移
π
6
个单位长度，得到
函数
 
g x
的图象，若
1 2
,x x
是关于 x的方程
 
g x a
在
π
0, 2
 
 
 
内的两根，则
 
1 2
sin 2 2x x 
（ ）
A．
3
5
B．
3
5
-
C．
10
10
D．
10
10
8．已知 M是圆
2 2
: ( 1) 4C x y  
上的动点，以点 M为圆心，
| |OM
为半径作圆 M，设圆 M与圆 C交
于A，B两点，则下列点中，直线
AB
一定不经过（ ）
A．
3 1
,
4 2
 
 
 
B．
3,1
2
 
 
 
C．
1 1
,
2 2
 
 
 
D．
1 2
,
2 2
 
 
 
 
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知双曲线
 
2
2 2
cos π, Z
3
y
x k k
 
 
，则不因
的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率
10．下列说法中正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，样本方差没有变化
B．在线性回归分析中，成对数据构成的点都在回归直线上的充要条件是相关系数
1r
C．在线性回归分析中，回归直线就是使所有数据的残差平方和最小的直线
D．在线性回归分析中，用最小二乘法求得的回归直线使所有数据的残差和为零
五模（数学）试卷第 3页，共 6页
11．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为
1r
上
，
2r
下
，母线
AB
长为 2，
E
为母线
AB
中点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆台母线
AB
与底面所成角为 60° B．圆台的侧面积为
12
C．圆台外接球半径为 2 D．在圆台的侧面上，从
C
到
E
的最短路径的长度为 5
12．已知函数
ln
( ) , ( )
ex
x x
f x g x x
 
，若直线
y b
与曲线
( )y f x
和
( )y g x
分别相交于点
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 2 2 3 3 44
, , , , , , ,A x f x B x f x C x g x D x g x
，且
1 2
x x
，
3 4
x x
，则下列关系中正确的
是( )
A．
1 4 2 3
x x x x  
B．
1 4 2 3
x x x x
C．
4
2 1
3
ln xx x
x
 
 
 
D．
2
4 3
1
ln xx x
x
 
 
 
第II 卷 (选择题，共 90 分)
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知
lg 2a b  
，
10
b
a
，则
a
______．
14．已知随机变量
2
~ (1, ), 0, 0N a b
 
 
，若
 
P a P b
 
 
，则
4a b
ab
的最小值为__________.
15．
1 cos 20 1
sin10 tan 5
2sin 20 tan 5
 
 
 
 
 
 
_______.
16．已知
[ ]x
表示不超过 x的最大整数，记
{ } [ ]x x x 
，则方程
2020
{ }xx
 
 
 
的整数解个数为__________．
四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
已知数列
 
n
a
满足
12a
，
12n
n n
a a
.
（1）证明：
2n
n
a
a
为常数；
（2）设数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
T
，求
2n
T
.
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