2023届辽宁省锦州市高三下学期4月质量检测 数学答案

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2023 年锦州市普通高中高三质量检测
数学 (参考答案及评分标准)
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
BDCC DBAD
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．AD 10．BC 11．AB 12．ABC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．x= 2(或3x- 4y+ 10 = 0)
注：写一条直线方程即可,如果写两个方程,都正确得 5分，有错误的得 0分。
14.1
15. 3
16．3，3
3(第一空 2分，第二空 3分)
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分 10 分)
解：(1) 因为 an+bn= 2n- 1，所以 (an+ 1 +bn+ 1)-(an+bn)=2，
所以数列 {an+bn}是首项为 1，公差为 2的等差数列，即 an+bn=2n-1，
所以其前 n项和 An+Bn=n2(3分)
又因为 An-Bn=n所以 An=n(n+ 1)
2，Bn=n(n- 1)
2(5分)
(2) 当n≥2时，bn=Bn-Bn-1 =n(n- 1)
2-n- 1
n- 2
2=n- 1 (7分)
b1=B1= 0 也适合，所以 bn=n- 1(8分)
所以 cn= 2bn+1
2An= 2n-1+1
n(n+ 1) = 2n-1+1
n-1
n+ 1 (9分)
所以 Sn= 1+2+22+⋯+2n-1
+ 1 - 1
2+1
2-1
3+⋯+1
n-1
n+ 1
=1×(1-2n)
1-2 + 1 - 1
n+ 1
= 2n-1
n+ 1 (10 分)
18．(本题满分 12 分)
解：(1)200 名有预订的游客中，青年游客人数为 200 × (38%+22%) = 120，
200 名不预订的游客中，青年游客人数为 400 × 3
16 = 75，
可知 2×2列联表如下
预订旅游 不预订旅游 合计
青年 120 75 195
非青年 80 125 205
合计 200 200 400
(3分)
·5 —1·
K2=400(120 × 125 - 80 × 75)2
200 × 200 × 195 × 205 ≈20.263 > 10.828 (6分)
所以能在犯错误概率不超过 0.001 的前提下，认为旅游预订与是否青年有关．(8分)
(2) 按分层抽样，从预定游客中选取 5人，
其中青年游客的人数为 5 × 120
200 = 3 人，其他游客 2人，(9分)
所以从 5人中任取 3人，其中至少有 2人是青年人的概率为
P=C2
3C1
2+C3
3
C2
5
=7
10 (12 分)
19．(本题满分 12 分)
解：(1) (法一)因为 5(a+c)sinB= 12csinA，所以由正弦定理，得 5(a+c)b= 12ac
又因为 a=c
，
所以 10ab = 12ac
，
即b=6
5c．(3分)
由余弦定理知：
cosA=b2+c2-a2
2bc =
6
5c
2+c2-c2
2×6
5c×c
=3
5(6分)
(法二)因为 a=c所以 A=C
又5a+c
sinB= 12csinA
所以 10csinB= 12csinA，即 5sinB= 6sinA(3分)
所以 5sin(π - 2A) = 6sinA即5sin2A= 6sinA所以 10sinAcosA= 6sinA
因为 sinA≠0，所以 cosA=3
5．(6分)
(2) 不存在以 B为直角顶点的直角三角形 (7分)
理由如下：
因为 5(a+c)sinB= 12csinA，
由正弦定理，得 5(sinA+ sinC)sinB= 12sinAsinC
若B=π
2，则 sinB= 1，且 sinC= cosA，
所以 sinA+ cosA=12
5sinAcosA=6
5sin2A(9分)
将上式两边平方得：1 + sin2A=36
25 sin22A
所以 (9sin2A+ 5) (4sin2A-5)=0 (11 分)
因为 0 < sin2A< 1，所以 9sin2A+5>0，且 4sin2A-5<0，
故不存在满足条件的三角形． (12 分)
20．(本题满分 12 分)
P
A
B
CDE
B
A
DE
O
F
O
F
图一 图二
·5 —2·
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