2023届辽宁省教研联盟高三第一次调研测试（一模）数学试题答案和解析

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数学试题　参考答案　第１　　　　 页（共 １０页）
２０２３年辽宁省教研联盟高三第一次调研测试
数学试题　参考答案
一、选择题
１．【答案】　Ｂ
解：
Ａ
∪Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ
≤２或ｘ＞０｝＝｛ｘ｜ｘ＞－１｝，选 Ｂ．
２．【答案】　Ｄ
解：
直于同一条直线的两个不同平面平行，选 Ｄ．
３．【答案】　Ａ
解：
画每个函数图像可知，ｙ＝ｘ
－２
是偶函数，且在区间（－
∞，０）单调递增，选 Ａ．
４．【答案】　Ｃ
解法 １：设 ＭＮ中点为 Ｐ，则 ＯＰ
⊥ＭＮ，所以
→
ＭＯ·→
ＭＮ＝（→
ＭＰ＋→
ＰＯ）· →
ＭＮ＝→
ＭＰ·→
ＭＮ＋→
ＰＯ·→
ＭＮ＝
→
ＭＮ
２
２＋０＝２，选 Ｃ．
解法 ２：
→
ＭＯ·→
ＭＮ＝→
→
ＭＯ ＭＮ ｃｏｓ
∠ＯＭＮ＝→
ＭＮ （→
ＭＯ ｃｏｓ
∠ＯＭＮ）＝→
ＭＮ
→
ＭＮ
２
２＝２，选 Ｃ．
解法 ３：
设ＭＮ中点为 Ｐ，以 →
ＭＮ为ｘ轴正方向，线段 ＭＮ的中垂线为 ｙ轴建立平面直角坐标系 ｘＰｙ，则
→
ＭＮ＝（２，０），→
ＭＯ＝（１，ｍ），因此 →
ＭＯ·→
ＭＮ＝２，选 Ｃ．
５．【答案】　Ｂ
解：
ｘ＝－１代入 ｆ（ｘ）－ｘ＝２ｆ（２－ｘ）可得 ｆ（－１）＋１＝２ｆ（３）①．
ｘ＝３代入 ｆ（ｘ）－ｘ＝２ｆ（２－ｘ）可得 ｆ（３）－３＝２ｆ（－１）②．
联立①②可得 ｆ（３）＝－１
３
，选 Ｂ．
６．【答案】　Ｄ
解：
因为４
π
５＝π
２－（－
３
π
１０
），所以 ｓｉｎ
４
π
５＝ｓｉｎ（－
３
π
１０
），ｃｏｓ
４
π
５＝ｃｏｓ（－
３
π
１０
），因此 α
的最小正值为
２
π－
３
π
１０＝
１７
π
１０，选 Ｄ．
数学试题　参考答案　第２　　　　 页（共 １０页）
７．【答案】　Ａ
解法 １：
Ｐ＝２
５×３
４×１
３＋３
５×２
４×１
３＝１
５
，选 Ａ．
解法 ２：
　　摸球三次结果的所有可能情形有 Ａ
３
５＝６０种，这三次符合题意摸球可以分为两类，第一类
第一次第三次 摸 到 红 球，可 能 情 形 有 Ａ
２
２
Ｃ
１
３＝６种，第二次第三次摸到红球，可能情形有
Ａ
２
２
Ｃ
１
３＝６种，于是摸球三次就停止摸球的概率为 Ｐ＝
６＋６
６０ ＝１
５
，选 Ａ．
８．【答案】　Ａ
解：
设ｆ（ｘ）＝π
２
ｓｉｎｘ＋π
２
ｔａｎｘ－
π
ｘ，则当 ０＜ｘ＜π
２
时，ｆ′（ｘ）＝π
２
（ｃｏｓｘ＋１
ｃｏｓ
２
ｘ
－２）．
因为 ｃｏｓｘ＋１
ｃｏｓ
２
ｘ
≥２
ｃｏｓ
槡ｘ
，所以 ｆ′（ｘ）
≥π
２
（２
ｃｏｓ
槡ｘ
－２）＞０，于是 ｆ（ｘ）在（０，
π
２
）单调递增，
所以 ｆ（１）＞ｆ（０）＝０，可得 ａ＞ｂ．
设ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ
２＋１
ｘ－ｘ，则当 ｘ＞０时，ｇ′（ｘ）＝－
（ｘ－１）
２
ｘ
２≤０，所以 ｇ（
π
）＜ｇ（１）＝０，
可得 ｂ＞ｃ．
　　综上，ａ＞ｂ＞ｃ，选 Ａ．
二、选择题
９．【答案】　ＡＣＤ
解：
因为 Ｘ～Ｎ（
μ
，
σ
２
）且 Ｐ（Ｘ
≤２）＝０．５，所以 μ
＝２，故 Ｅ（Ｘ）＝
μ
＝２，Ｄ（ｘ）＝
σ
２
，选项 Ａ正确，选
项Ｂ错误．
因为 Ｙ～Ｂ（３，ｐ），所以 Ｅ（Ｙ）＝３ｐ，由 ３ｐ＝２可得 ｐ＝２
３
，选项 Ｃ正确．
Ｄ（３Ｙ）＝９Ｄ（Ｙ）＝９×３×２
３×（１－２
３
）＝６，选项 Ｄ正确．
　　综上，选 ＡＣＤ．
１０．【答案】　ＢＣ
解：
由ａ
２＜－ａ
１１ ＜ａ
１可得｛ａ
ｎ
｝的公差 ｄ＜０，且 ａ
２＋ａ
１１ ＜０，ａ
１＋ａ
１１ ＞０，因此 ａ
６＞ａ
７
，
且Ｓ
１２ ＜０，Ｓ
１１ ＞０，从而 Ｓ
１５ ＜０，Ｓ
１０ ＞０，选项 Ａ错误，选项 Ｂ正确，选项 Ｃ正确．
由ａ
１＋ａ
１１ ＞０可得 ａ
６＞０，由 ａ
２＋ａ
１１ ＜０，因为 ａ
１２ ＜ａ
１１
，所以 ａ
７＝
ａ
２＋ａ
１２
２＝
ａ
２＋ａ
１１
２＜０，
因为｛ａ
ｎ
｝单调递减，所以 Ｓ
ｎ
≤Ｓ
６
，Ｓ
６
≠Ｓ
５
，选项 Ｄ错误．
　　综上，选 ＢＣ．
数学试题　参考答案　第３　　　　 页（共 １０页）
１１．【答案】　ＢＣＤ
解：
设ｌ与ｘ轴交点为 Ｒ，则未必是 ＱＦ的中点，未必有 ｜ＰＦ｜＝｜ＰＱ｜，
因此选项 Ａ错误．
设Ｍｙ
２
０
２ｐ
，ｙ
( )
０，可知 ｍ斜率 ｋ存在，可设 ｍ∶ｙ－ｙ
０＝ｋ（ｘ－
ｙ
２
０
２ｐ
），
将ｘ＝
ｙ
２
２ｐ
代入可得ｋｙ
２
２ｐ－ｙ＋ｙ
０－
ｋｙ
２
０
２ｐ＝０，由△＝０，可得 ｋ＝ｐ
ｙ
０
，
因此 ｍ∶ｙ＝ｐ
ｙ
０
ｘ＋
ｙ
０
２
．
于是 Ｎ０，
ｙ
０
( )
２，因为 Ｍ
１－ｐ
２
，ｙ
( )
０，Ｆｐ
２
，
( )
０，所以 Ｎ为Ｍ
１
Ｆ中点，选项 Ｂ正确．
因为 Ｍ
１
Ｍ＝ＭＦ ，所以 ＭＱ是Ｍ
１
Ｆ的垂直平分线，而 Ｍ
１
Ｍ
∥ｘ轴，
所以四边形 ＭＭ
１
ＱＦ是菱形，选项 Ｃ正确．
△ＭＭ
１
Ｐ
≌△ＭＦＰ，由∠ＭＰＦ＝６０°，可得∠Ｍ
１
ＭＦ＝６０°，所以 Ｍ
１
Ｑ＝ＭＦ ＝Ｍ
１
Ｆ ．
因为∠Ｍ
１
ＭＲ＝６０°，所以 Ｍ
１
Ｆ＝２｜ＲＦ｜＝２ｐ，选项 Ｄ正确．
　　综上，选 ＢＣＤ．
【关于 ｍ∶ｙ＝ｐ
ｙ
０
ｘ＋
ｙ
０
２
导数得出：
对等式 ｙ
２＝２ｐｘ两边对 ｘ求导数，可得 ２ｙｙ′＝２ｐ，从而 ｙ′＝ｐ
ｙ
，设 Ｍｙ
２
０
２ｐ
，ｙ
( )
０，
可得 ｍ∶ｙ－ｙ
０＝ｐ
ｙ
０
ｘ－
ｙ
２
０
２
( )
ｐ，即 ｙ＝ｐ
ｙ
０
ｘ＋
ｙ
０
２
．】
【例子】对于函数 ｆ（ｘ）＝ｘ
ｘ
，ｘ＞０，我们有
ｌｎｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，
两边对 ｘ求导数可得
ｆ′（ｘ）
ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１．
从而
ｆ′（ｘ）＝ｘ
ｘ
（ｌｎｘ＋１）．
……．
１２．【答案】　ＢＤ
解：
因为 ａ
２－ｂ
２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ＋ｂ＞０，选项 Ａ错误．
９
ａ－１
ｂ＝９
ａ＋１
－
( )
ｂ（ａ＋（－ｂ））＝１０－ ９ｂ
ａ＋ａ
( )
ｂ≤１０－２ ９ｂ
ａ
·ａ
槡ｂ＝４，当且仅当 ａ＝３
２
，
ｂ＝１
２
时，取等号，选项 Ｂ正确．
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