2023届辽宁省丹东市高三总复习质量测试（二）数学小题详解

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小题详解第1页（共6页）

丹东市 2023 届高三总复习质量测试（二）

数学小题详解

1．已知向量 a＝(2，1)，b＝(3，2)，则 a·(a－b)＝

A．－5

B．－3

C．3

D．5

答案：B．

解：

a·(a－b)＝(2，1)·(－1，－1)＝2×(－1)＋1×(－1)＝－3．

2．不等式 3

x＋2＞1的解集为

A．{x|x＜1，x≠－2}

B．{x|x＞1}

C．{x|－2＜x＜1}

D．{x|x＜－2或x＞1}

答案：C．

解：

不等式 3

x＋2＞1等价于x－1

x＋2＜0，等价于(x－1)(x＋2)＜0，解集为{x|－2＜x＜1}．

3．直线 x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则 a＝

A．－2

B．1

C．－2或1

D．－1或2

答案：A．

解：

由1×2＝a(a＋1)，得 a＝－2或a＝1．

当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2．

当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．

4．古希腊科学家阿基米德发明了享誉世界的汲水器，称为阿基米德螺旋泵，两千多年后的

今天，左图所示的螺旋泵，仍在现代工农业生产中使用，其依据是“阿基米德螺线”．

在右图所示的平面直角坐标系 xOy 中，点A匀速离开坐标系原点 O，同时又以固定的角

速度绕坐标系原点 O逆时针转动，产生的轨迹就是“阿基米德螺线”，该阿基米德螺线

与坐标轴交点依次为A1(－1，0)，A2(0，－2)，A3(3，0)，A4(0，4)，A5(－5，0)，…按此

规律继续，若四边形AnAn＋1An＋2An＋3的面积为 220，则 n＝

A．7

B．8

C．9

D．10

答案：C．

解：

如图，凸四边形AnAn＋1An＋2An＋3对角线垂直，故其面积等于

2(n＋n＋2)(n＋1＋n＋3)＝2(n＋1)(n＋2)．

由2(n＋1)(n＋2)＝220 得n＝－12，或 n＝9，因为 n∈N*，

所以 n＝9．

5．△ABC 中，AC＝2，BC＝3，A＝60º，则 cosB＝

A．± 2

B．±1

C．1

D．2

答案：D．

小题详解第2页（共6页）

解：

由正弦定理 3

＝2

sin B，得 sinB＝2

2，因为 BC＞AB，所以 cosC＝2

2．

6．设函数 f (x)满足 f (x＋1)＋f (x)＝0，当 0≤x＜1时，f (x)＝21－x，则 f (log0.58)＝

A．－2

B．－1

C．1

D．2

答案：A．

解：

由f (x＋1)＋f (x)＝0得f (x＋2)＝f (x)．因为log0.58＝－log28＝－3，所以

f (log0.58)＝f (－3)＝f (－3＋2＋2)＝f (1)＝－f (0)＝－2，选 A．

7．若 cosα≠0，2(sin2α＋5cosα)＝1＋cos2α，则 tan2α＝

A．－4

B．－3

C．3

D．4

答案：D．

解法 1：

由2(sin2α＋5cosα)＝1＋cos2α，得 2cos2α＝2sinαcosα＋2 5cosα．

因为 cosα≠0，所以 1

5cosα－2

5sinα＝1，于是 cos(α＋φ)＝1，tanφ＝2．

取α＝－φ，得 tanα＝－2，从而 tan2α＝2tanα

1－tan2α＝4

3．

解法 2：

由2(sin2α＋5cosα)＝1＋cos2α，得 2cos2α＝2sinαcosα＋2 5cosα．

因为 cosα≠0，所以 cosα－2sinα＝5，设 f (x)＝cosx－2sinx，则 x＝α是f (x)的极大值

点，因此 f ′(α)＝0．得 tanα＝－2，从而 tan2α＝2tanα

1－tan2α＝4

3．

8．设函数 y＝f (x)由关系式 x|x|＋y|y|＝1确定，函数 g(x)＝









－f (x)，x≥0，

f (－x)，x＜0．则

A．g(x)为增函数

B．g(x)为奇函数

C．g(x)值域为[－1，＋∞)

D．函数 y＝f (－x)－g(x)没有正零点

答案：D．

解：

可知 f (x)＝







1＋x2， x＜0，

1－x2，0≤x≤1，

－x2－1， x＞1．

画以下曲线：

y2－x2＝1(x＜0，y＞0)，x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)，x2－y2＝1(x＞0，y＜0)．

这些曲线合并组成 f (x)图象，是两段以 y＝－x为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．

小题详解第3页（共6页）

因为 g(x)＝









－f (x)，x≥0，

f (－x)，x＜0．作f (x)图象在轴右侧部分包括点(0，－1)关于 x轴对称，得

到曲线C1，再作C1关于坐标原点对称，去掉点(0，1)得到曲线C2，C1与C2合并组成 g(x)图象．

由g(x)图象可知，g(x)不是奇函数，g(x)不是增函数，g(x)值域为 R．当 x＞0时，f (－x)

图象与 g(x)图象没有公共点，从而函数 y＝f (－x)－g(x)没有正零点．

9．在复平面内，O为坐标原点，A为z＝1－i对应的点，则

A．z的虚部为－i

B．z6为纯虚数

C．







1－3i

z＝2

D．→

OA2＝z2

答案：BC．

解：

z的虚部为－1，选项 A错误．z6＝(z2)3＝(－2i)3＝8i，是纯虚数，选项 B正确．







1－3i

z＝|－1＋3i|

|z|＝2

2＝2，选项 C正确．→

OA2＝|z|2＝2，z2＝－2i，→

OA2≠z2，选

项D错误．

10．如图，玻璃制成的长方体容器 ABCD－A1B1C1D1内

部灌进一多半水后封闭，仅让底面棱BC 位于水平

地面上，将容器以 BC 为轴进行旋转，水面形成四

边形 EFGH

，

忽略容器壁厚，则

A．A1D1始终与水面 EFGH 平行

B．四边形 EFGH 面积不变

C．有水部分组成的几何体不可能是三棱柱

D．AE＋BF 为定值

答案：AC．

解：

可知 BC∥水面 EFGH，因为A1D1∥BC，所以A1D1始终与水面平行，选项 A正确．

EH＝FG，EF 改变，水面所在四边形 EFGH 面积改变，选项 B错误．

有水部分组成的几何体为棱柱，因为水的体积大于一半容器容积，所以不可能是三棱柱，

选项 C正确．

有水部分的棱柱体积不变，高 BC 也不变，所以底面面积不变，所以当且仅当 E，F分

别在棱 AA1，BB1上时，AE＋BF 是定值（反例可否定），选项 D错误．

11．设 M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线 C：x2＝4y上两点，F为C的焦点，直线 MN 经过点

D(0，6)，则

A．若|MF|＝3，则|NF|＝19

B．C在点 M处的切线经过点(x1

2，0)

C．∠MFN 为钝角

D．若|DM||DN|＝48，则|x1＋x2|＝4

答案：ABD．

解：

MN 不垂直于 x轴，可设 y＝kx＋6，联立x2＝4y得x2－4kx－24＝0，△＝16k2＋96＞0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－24．

因为 F(0，1)，若|MF|＝3，则y1＝2，而y1y2＝x2

4·

4＝(x1x2)2

16 ＝36，故y2＝18，|NF|＝19，

选项 A正确．

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