辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高三上学期第四次质量监测 数学答案

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沈阳市第 120 中学 2023－2024 学年度上学期
高三年级第四次质量监测
数学试题
满分：150 分 时间：120 分钟 命题人：马健 于茂源 校对人：高越
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
1. 设集合
 
28 15 0A x x x   
，集合
 
1 0B x ax  
，若
B A
，则实数
a
取值集合的真子集的
个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合
A
，然后分
0a
和
0a
两种情况由
B A
可求出
a
的值，从而可求出实数
a
取值集
合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】由
28 15 0x x  
，得
，解得
3x
或
5x
，
所以
 
3,5A
，
当
0a
时，
B 
，满足
B A
，
当
0a
时，
1
Ba
 
 
 
，因为
B A
，所以
13
a
或
15
a
，得
1
3
a
或
1
5
a
，
综上，实数
a
取值的集合为
1 1
0, ,
3 5
 
 
 
，
所以实数
a
取值集合的真子集的个数为
3
2 1 7 
，
故选：C
2. 已知复数
z
满足
(1 2i) 3 2iz  
，则
z
的虚部为（ ）
A.
8
5
B.
8
5
C.
1
5
D.
1
5
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，求得
1 8 i
5 5
z 
，得到
1 8 i
5 5
z 
，结合复数的定义，即可求解.
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【详解】由复数
(1 2i) 3 2iz  
，可得
 
 
3 2i 1 2i
3 2i 1 8 i
1 2i 1 2i 1 2i 5 5
z 
 
 
，
所以
1 8 i
5 5
z 
，所以复数
z
的虚部为
8
5
.
故选：A.
3. 若
2
2n
xx
 
 
 
的展开式中，只有第 6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A. 90 B. -90 C. 180 D. -180
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可知项数 n=10，再表示通项并令其中 x的指数为零，求得指定项的系数即可.
【详解】解：因为
2
2n
xx
 
 
 
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数 n=10，即
2
10
2
xx
 
 
 
，
则通项为
 
 
10 5
10 2
1 10 210
22
rr
rr
r r
rxT x
x
C C
 
 
 
 
，
令
10 5 0 2
2
rr

，则
 
22
3 10
2 180T C 
.
故选：C.
4. 向量
1a b 
 
，
3c
且
0abc 
 
，则
cos ,a c b c  
 
（ ）
A.
13
14
B.
13
14
C.
4
5
D.
4
5
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.
【详解】由已知可得
 
2 2 2 1
22
c a b c a b a b a b 
 
 
，
又
2 , 2a c a b b c b a   
 
 
，
所以
  
2 2
2 2 2 2
2 2 2 5 2 13
cos , 14
7 7
4 4 4 4
a b a b a a b b
a c b c
a a b b b a b a
   
 
   
 
   
 
   
 
.
故选：A
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5. 在《九章算术
商功》中将正四面形棱台体
(
棱台的上、下底面均为正方形
)
称为方亭．在方亭
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
1 1
2 2AB A B 
，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为
3 3
，则该方亭的体
积为（ ）
A.
7
2
B.
7
6
C.
72
2
D.
72
6
【答案】D
【解析】
【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到
1
AA
的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱
台的体积计算公式求解即可．
【详解】如图，过
1
A
作
1
A E AB
，垂足为
E
，
由四个侧面的面积之和为
3 3
知，侧面
1 1
ABB A
的面积为
3 3
4
，
1 1 1
3 3
4
1( )
2AB A B A E  
（梯形的面积公式），则
1
3
2
A E
．
由题意得：
1 1
1 1
( )
2 2
AE AB A B  
，在
1
Rt AA E△
中，
2
2 2 2
1 1
1 3
( ) 1
2 2
AA AE A E  
 
 
 
．
连接
AC
，
1 1
A C
，过
1
A
作
1
A F AC
，垂足为
F
，
易知四边形
1 1
ACC A
为等腰梯形且
2 2AC
，
1 1 2A C
，则
 
1 1
1 2
2 2
AF AC A C  
，
2 2
1 1
2
2
A F AA AF  
，
该方亭的体积
2 2 2 2 7
1 2
1 2
(1 2 2 )
3 2 6
V  
，（棱台的体积公式）．
故选：D．
6. 在数列
 
n
a
中，
11a
，且函数
 
5
1sin 2 3 3
n n
f x x a x a x
 
的导函数有唯一零点，则
9
a
的值
为（ ）．
A. 1021 B. 1022 C. 1023 D. 1024
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